¿Cómo llegar a una formulación específica de la desviación media relativa?

Question

Yo soy un economista que trabaja en la actualidad con este libro: Frank Cowell - que mide la Desigualdad

En la página 25 de la formulación de la relación de la desviación media se da de la siguiente manera: $$ M = 2 \left[ F\left(\bar{y}\right) - \Phi(\bar{y}) \right] $$

$F$ es el CDF, $\Phi$ es la proporción del total de los ingresos recibidos por las personas que tienen un ingreso menor o igual a $y$ ( por el libro de la definición: $\Phi=\frac{1}{\bar{y}} \int_0^y zdF(z)$), y $\bar{y}$ es la media. Todo esto también se define en la página 152 en el apéndice. El apéndice también se da una definición de $M$:

$$ M = \int \left| \frac{y}{\bar{y}} -1\right|dF $$

El libro dice que el ex formulación puede ser derivada a partir de la última, pero no tengo idea de cómo empezar con esto. ¿Cómo puedo realizar la integración de aquí y llegar a la primera formulación?

Answer 1

La relación es universal y no depende de la distribución de los ingresos. La única suposición de ser es el hecho de que F es una CDF y $F(-\infty)=0$ (o $F(0)=0$ en este caso especial) y $F(\infty)=1$. Entonces: \begin{aligned} M &= \int_0^\infty \left|\frac{y}{\bar y}-1 \right|dF(y) \\ &= \int_0^{\bar y} \left(1 - \frac{y}{\bar y}\right)dF(y) + \int_{\bar y}^\infty \left(\frac{y}{\bar y}-1 \right)dF(y)\\ &= \left(F(\bar y)-0-\Phi(\bar y)\right) + \left( 1 - \Phi(\bar y) -1 +F(\bar y)\right) \\ &= 2 \left( F(\bar y) - \Phi(\bar y) \right) \end{aligned}

El paso 1 es posible debido a la monotonía de la dependencia de F respecto de y. Paso 2 utiliza las propiedades de un CDF y la definición de $\Phi$. Más explícitamente para el primer sumando: $$ \int_0^{\bar y} dF(y) = F(\bar y) - F(0) = F(\bar y) $$ desde $F(0)=0$ y con la definición de $\Phi$ $$ \int_0^{\bar y} \frac{y}{\bar y}dF(y) = \Phi(\bar y). $$ Y para el segundo sumando: $$ \int_{\bar y}^\infty dF(y) = F(\infty)-F(\bar y)=1-F(\bar y) $$ desde $F(\infty)=1$ y \begin{aligned} \int_{\bar y}^\infty \frac{y}{\bar y} dF(y) &= \int_0^\infty \frac{y}{\bar y} dF(y) - \int_0^{\bar y} \frac{y}{\bar y} dF(y) \\ &= 1 - \Phi({\bar y}) \end{aligned} debido a $\int_0^{\infty} y dF(y)$ es la expectativa de valor de $\bar y$ $\int_0^{\bar y} \frac{y}{\bar y} dF(y)$ es de nuevo la definición de $\Phi$. Tenga en cuenta que supuse que el ingreso $y$ tiene que ser positiva (como en la definición de $\Phi$). De lo contrario, la menor integración límite de $0$ tiene que ser sustituido por $-\infty$.