Considere un grupo homomorphism $f:\Bbb{C}^*\to\Bbb{R}^*$. En una reciente pregunta , fácilmente nos establecido que $\ker(f)$ es necesariamente infinita. El homomorphisms que puede ser fácilmente descrito son de la forma $$ f(z)=|z|^un $$ para algunas constante real $a$. Todos los homomorphisms contener el círculo unidad en su núcleo. Esto plantea la sospecha:
Es $\ker (f)$ necesariamente innumerables?
No todos los homomorphisms son de la forma anterior. El grupo de los números reales positivos es divisible, es decir, todos los números reales positivos positivos raíces de un entero dado orden. Esto implica que en la categoría de Abelian grupos el grupo $\Bbb{R}_{>0}$ es un inyectiva objeto (lema de Zorn es necesario para probar esto). Esto implica la existencia de otros homomorphisms de la siguiente manera. Deje $\omega\in\Bbb{C}$ ser un número tal que i) $|\omega|=1$, y ii) $\omega^n\neq1$ todos los $n\in\Bbb{Z}$, IOW $\omega=e^{2\pi i r}$ para algunos irracional número real $r$. Nos deja seleccionar $a\in\Bbb{R}_{>0}$, $a\neq1$. Considerar el subgrupo $H=\langle \omega\rangle\times\Bbb{R}_{>0}\le\Bbb{C}^*$. La regla $$ f_a(\omega^nx)=a^nx, $$ para todos los $x\in\Bbb{R}_{>0}$, a continuación se define un homomorphism $f_a:H\to\Bbb{R}_{>0}$. Por la inyectividad del grupo objetivo, podemos extender esto a un homomorphism $f'_a$ todos $\Bbb{C}^*$ $\Bbb{R}_{>0}$tal que $f'_a(\omega)=a\neq1$. ¿Pero que realmente ayude a responder a la pregunta? Ni $\Bbb{C}^*$ ni $\Bbb{R}^*$ es finitely generado, de modo que no sabemos si puede ser escrito como un producto directo de una torsión de grupo y un grupo abelian, o ¿no?
