Primera edición era: dejar $f(x)$ ser un polinomio tal que $f(x)$ y $f(x)-x$ tienen sólo una raíz real. ¿Cómo demostrar, sin derivados, que $f(f(x))-x$ también tiene sólo una raíz real?
Segunda edición: que $f(x)=a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$. Todos los $a_i \neq 0$. $f(x)$ y $f(x)-x$ tiene sólo una raíz real. ¿Cómo demostrar, sin derivados, que $f(f(x))-x$ también tiene sólo una raíz real?
Como Jonas Meyer ha señalado que el problema no es realmente cierto.
Como se ha sugerido, deje $f(x)= -x$. A continuación,$f(x) -x = -x -x = -2x$. Considerando $f(f(x)) -x= f(-x) -x = -(-x) -x = 0$. Es decir, para $f(x)=-x$, nos han mostrado $f(x) -x$ tiene sólo una raíz real, es decir,$x=0$, mientras que $f(f(x))-x=0$ tiene una infinidad de raíces reales.
Respuesta a los comentarios: Deje $f(x)=x^3 - 2 x^2 + 5 x - 1$. Entonces, $$f(x) -x = x^3 -2x^2 +5x -1 =x^3 -2x^2 +4x -1$$ Solving for $x$ (by Wolfram Alpha) we have that $x \aprox 0.284775$ and that there is only one real root. Considering $f(f(x))-x$ we have the following, $$f(f(x))-x = (x^3 -2x^2 +4x -1)^3 - 2(x^3 -2x^2 +4x -1)^2 +4(x^3 -2x^2 +4x -1) -1$$ which can be "simplifed" to, $$f(f(x))-x = x^9-6 x^8+24 x^7-61 x^6+116 x^5-156 x^4+155 x^3-102 x^2+44 x-8$$ Que sólo tiene una raíz real $x \approx 0.379555$. Así, se han demostrado que no existe un polinomio, es decir, $f(x) = x^3 -2x^2 +5x -1$ por que es cierto. Pero esto no se muestra en general que su conjetura es verdadera, puesto que existe al menos un contraejemplo.
@Jonas: no puedo pensar en otro contraejemplo la parte superior de mi cabeza, no quiero intentar duro a pensar acerca de esto.
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