Cuadrado perfecto de Triple Pythagorean Prime

Question

Este problema aparece como la segunda pregunta en el British Olimpiada Matemática De 2014--2015 Ronda 1 papel (https://bmos.ukmt.org.uk/home/bmo1-2015.pdf).

Los enteros positivos $p$, $a$ y $b$ satisfacer la ecuación de $p^2 + a^2 = b^2$. Probar que si $p$ es un primo mayor que $3$, $a$ es un múltiplo de a $12$ $2(p + a + 1)$ es un cuadrado perfecto.

El uso de la diferencia de dos cuadrados, único primer teorema de factorización y propiedades del producto de la posterior enteros, he logrado demostrar que $a$ es un múltiplo de 12 (es decir, que $a = 12q$$q \in \mathbb{N}$).

Sin embargo, para la segunda parte, no estoy seguro de cómo vincular el teorema de Pitágoras para el resultado requerido, dado que el $a$ es un múltiplo de a $12$. Desde $2(p + a + 1)$ es par, entonces es fácil deducir que estamos buscando una expresión para $t$ satisfacción $p + a + 1 = 2t^2$.

Alguna pista/sugerencias sobre la manera de abordar este problema sería muy apreciada.

Answer 1

Tenemos $p^2=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$. Nota que $p$ no puede dividirse tanto de $b-a$ y $b+a$. Pues si lo hizo, entonces $p$ dividiría ambos $a$ y $b$ y tendría $1^2+(a/p)^2=(b/p)^2$, que es imposible.

Así que debemos tenemos $b-a=1$ y $b+a=p^2$. Se deduce que el $a=\frac{p^2-1}{2}$ y por lo tanto %#% $ #%

Answer 2

Todos terna pitagórica es de la forma $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ y el prime $p$ debe ser igual a $m^2-n^2$ que la fuerza para sacar a $m=n+1$$p=2n+1$$n>1$.

De ello se desprende $a=2n(n+1)$ $a$ es claramente varios de $4$.

Además el número de $n$ tienen tres posibles casos $n=3n_1$,$\space n=3n_1+1$ y $n=3n_1-1$ y el único que no claro que $a$ no es múltiplo de $3$ es al $n=3n_1+1$. Sin embargo, para este caso tendríamos $p=6n_1+3$ que no es admisible debido a que $p>3$ y prime.

No es problema para comprobar que $2(p+a+1)=(2(n+1))^2$