Ser analítica en una región convexa $f(z)$ % que $D \subset \mathbb{C}$. Si $\mathrm{Re}f'(z)>0,\forall z\in D$, entonces mostrar que $f(z)$ es una función uno a uno, es decir, si $z_1\ne z_2,$ y $f(z_1)\ne f(z_2)$.
Respuesta
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Deje $f \colon D \to \mathbb{C}$ ser analítico en un subconjunto convexo $D$$\operatorname{Re}f^\prime(z) > 0 ~~ \forall z \in D$.
Deje $z_1 \neq z_2$ dos puntos distintos en $D$. Por la media-teorema del valor de holomorphic funciones, existe algún punto de $z_0$ sobre el segmento de línea entre el $z_1$ $z_2$ satisfactorio
$$\operatorname{Re}f^\prime(z_0) = \operatorname{Re} \left( \dfrac{f(z_2) - f(z_1)}{z_2 - z_1} \right) > 0.$$
La suposición de que $D$ es convexa garantiza que el segmento de la línea de $z_1$ $z_2$está contenido en $D$ - de hecho, esta es la definición de un subconjunto convexo.
Y puesto que la parte real de la derivada es positiva (por hipótesis), no podemos tener a $f(z_1) = f(z_2)$, ya que entonces tendríamos $\operatorname{Re}f^\prime(z_0) = 0$. Por lo tanto $f(z_1) \neq f(z_2)$, lo $f$ es inyectiva (uno a uno) en $D$.
