Serie de potencias de funciones elípticas

Question

Necesito ayuda para el siguiente problema:

Obtener las siguientes expansiones de energía para las funciones elípticas: $$sn(u)=u-{(1+k^2) \over3!}u^3+{(1+14k^2+k^4) \over 5!}u^5-...$ $ $$cn(u)=1-{1 \over 2}u^2+{(1+k^2)\over 4!}u^4-...$ $ $$dn(u)=1-{k^2 \over 2!}u^2+{k^2(4+k^2) \over 4!}u^4-...$ $

¿Del patrón en el problema, siento que necesito utilizar la serie de energía de $\sin$ y $\cos$ funciones, y sé que, si definimos $$u=u(\phi)=\int_0 ^{\phi} {d{\theta}\over (1-k^2\sin^2\theta)^{1\over 2}},$$ then $ sn (u) = \sin \phi, cn (u) = \cos \phi$. But since $u$ is a function of $\phi$, how could make use of the power series of $\sin$ and $\cos$ para obtener la serie de encendido deseada?

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $k^2

A continuación podría obtener la serie de encendido de $\sin^{2n} \theta$: de Euler Teorema $$\sin^{2n} \theta=\left( \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i} \right)^{2n} $ de binomio y aplicando Newton teorema ahora da $$\sin^{2n} \theta=\frac{(-1)^n}{2^{2n}} \sum{k=0}^n \binom{n}{k} e^{i k \theta} e^{-i (n-k) \theta} $ $, podemos utilizar la familiar series exponencial $$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\dots $$ for all terms of the series above. This expresses the integrand as a power series (with even powers only) $$\frac{1}{1-k^2 \sin^2 \theta}=\sum{n=0}^\infty a_{2n}(k) \theta^{2n} .$$ Integrating this, we express $u$ as a power series in $\phi$. Using Lagrange's inversion theorem we can express $\phi$ as a power series in $u$, and composing with the trig functions $\cos,\sin$ debe hacerlo.

Comentario: Esto es simplemente un esbozo; Hay muchos cálculos de izquierda a hacer.

Answer 2

Es mejor utilizar la serie de Maclaurin y repetida diferenciación para probar cada una de las series. Es necesario distinguir $\text{sn}\, u$ cinco veces y otras funciones 4 veces. Usted debe ser capaz de obtener los resultados deseados de Maclaurin serie %#% $ #%

Usted necesitará las siguientes fórmulas $$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^{2}}{2!}f''(0) + \frac{x^{3}}{3!}f'''(0) + \cdots $$$\frac{d}{du}\text{sn}(u, k) = \text{cn}(u, k)\,\text{dn}(u, k)$$ $$\frac{d}{du}\text{cn}(u, k) = -\text{sn}(u, k)\,\text{dn}(u, k)$$ $$\frac{d}{du}\text{dn}(u, k) = -k^{2}\,\text{sn}(u, k)\,\text{cn}(u, k)$% $ $ $