¿Es cualquier función f que es diferenciable en $(0,\infty)$ y tal que $f^{-1} = f'$?

Question

¿Es cualquier función f que es diferenciable en <span class="math-container">$(0,\infty)$</span> y tal que <span class="math-container">$f^{-1} = f'$</span>?

Creo que no existe ninguna tal función. Pensé en constante, exponencial, funciones trigonométricas, etc., pero no encontré ninguna función que es diferenciable en <span class="math-container">$(0,\infty)$</span> y tal que <span class="math-container">$f^{-1} = f'$</span>.

¿Es cierto?

Answer 1

Existe al menos una función. Vamos a empezar por asumir que el $f(x)=kx^\alpha$, para algunas de las $k,\alpha>0$. A continuación, $f'(x)=k\alpha x^{\alpha-1}$ e $f^{-1}(x)=k^{-\frac1\alpha}x^\frac1\alpha$. Así que, ¿cuándo tienes$$\bigl(\forall x\in(0,+\infty)\bigr):k\alpha x^{\alpha-1}=k^{-\frac1\alpha}x^\frac1\alpha?$$We must have $\alpha-1=\frac1\alpha$, which means that $\alpha=\varphi$ (the golden ratio). And then $k$ must be such that $k^{-\frac1\varphi}=k\varphi$, wich is equivalent to $k^{-\frac1\varphi-1}=\varphi$. Numerically, $k\approx0.7427$.

Si permites $\alpha$ a ser negativo, el mismo enfoque conduce a otra solución, de la forma $x\mapsto kx^{-\frac1\varphi}.$