Interpretación geométrica de por qué algunas matrices no tienen valores propios

Question

No entiendo cómo interpretar geométricamente la fórmula $Av = \lambda v$ donde $A$ es una matriz y $v, \lambda$ son los correspondientes vectores y valores propios.

Por ejemplo, ¿por qué la matriz \begin {bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end {bmatrix}

no tiene ningún valor propio? ¿Cómo puedo explicar esto, geométricamente sin decir simplemente que no es el caso porque $\lambda^2+1=0$ no tiene soluciones reales?

Answer 1

Puede ver un $n$ -como un espacio vectorial de dimensiones $\mathbb{R}^n$ . $Av=\lambda v$ significa que la imagen de $v$ está en la misma dirección que $v$ . También se puede interpretar como " $A$ fija la línea atravesada por $v$ ". Puede ver $\lambda$ como un factor que expresa cómo $v$ cambios.

Se puede entender geométricamente por qué la matriz que has dado no tiene valores propios. De hecho, se puede ver claramente por qué no fija ninguna línea. De hecho, aquí hay una cosa: dado $\theta\in\mathbb R$ la matriz

\begin {pmatrix} \cos\theta & - \sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end {pmatrix}

representa la rotación del ángulo $\theta$ . Usted obtiene su matriz para $\theta=-\dfrac{\pi}{2}$ . Se puede ver geométricamente que tal rotación no preserva ninguna línea.