Posteo aquí porque tengo una duda sobre mi demostración del lema de la serpiente. En realidad, tengo la impresión de que no uso en ninguna parte la conmutatividad del diagrama. En realidad, este es el diagrama que considero :
\begin{array}{c} & & M_1 & \xrightarrow{\alpha} & M_2 & \xrightarrow{\beta} & M_3 & \to & 0 \\ & & \downarrow u & & \downarrow v & & \downarrow w \\ 0 & \to & N_1 & \xrightarrow{\alpha'} & N_2 & \xrightarrow{\beta'} & N_3 \end{array}
Y tengo que determinar una aplicación lineal : $f : \ker(w) \rightarrow coker(u) $ .
Esto es lo que hice:
Sea $m_3 \in \ker(w)$ . En $\ker(w) = Im(\beta)$ , dejemos que $m_2 \in M_2$ tal que $\beta(m_2) = m_3$ . Tendríamos la unicidad de $m_2$ y para ello considero $\overline{m_2} \in M_2/\ker(\beta)$ . Así, para $m_2, m'_2$ tal que $\beta(m_2) = \beta(m'_2) = m_3$ tenemos : $m_2 - m'_2 \in \ker{\beta}$ y luego $\overline{m_2} = \overline{m'_2}$ .
Nos da una primera aplicación lineal bien definida : $\lambda_1 : \ker(w) \rightarrow M_2/\ker(\beta)$ que envían $m_3 \in \ker(w)$ a $\overline{m_2} = m_2 + \ker(\beta)$ .
Ahora, tenemos que : $\ker(\beta) = Im(\alpha)$ por lo que $m_3 \in \ker(w)$ y $m_2 \in M_2$ tal que $\beta(m_2) = m_3$ . Entonces, estamos considerando $v(m_2) \in Im(v)$ . En $Im(v) = \ker(\beta')$ tenemos : $v(m_2) \in \ker(\beta')$ . Pero nosotros también : $\ker(\beta') = Im(\alpha')$ . Así que : $v(m_2) \in Im(\alpha')$ . Por lo tanto $n_1 \in N_1$ tal que : $\alpha'(n_1) = v(m_2)$ .
Nos gustaría tener $n_1$ independiente de $m_2$ pero sólo depende de $\overline{m_2}$ . Pero, dejemos $m_2, m_2 + \hat{v}$ con $m_2 \in M_2, \hat{v} \in \ker(\beta) = Im(\alpha) = \ker(v)$ . Entonces $n_1, n'_1$ tal que : $\alpha'(n_1) = v(m_2)$ , $\alpha'(n_1') = v(m_2 + \hat{v}) = v(m_2) + 0 = v(m_2)$ .
Entonces..: $\alpha'(n_1) = \alpha'(n_1')$ Así que $n_1 - n_1' \in \ker(\alpha')$ . Por lo tanto, estamos considerando $\overline{n_1} = n_1 + \ker(\alpha')$ . Pero $ker(\alpha') = Im(u)$ Así que..: $\overline{n_1} = n_1 + Im(u)$ .
Nos da una segunda aplicación lineal : $\lambda_2 : M_2/\ker(\beta) \rightarrow N_1/Im(u) = coker(u)$ que envían $m_2 + \ker(\beta)$ a $n_1 + Im(u)$ como se ha definido anteriormente.
Por último : $\lambda_2 \circ \lambda_1$ es la aplicación lineal que conviene.
Y mi pregunta : Tengo la impresión de que mi prueba es correcta, pero también tengo la impresión de que no he utilizado la conmutatividad del diagrama, por lo que mi prueba es probablemente incorrecta. Pero no veo por qué.
¿Alguien podría ayudarme? :)
Gracias.
0 votos
Parece que doblas las secuencias exactas. En general, no hay conexión entre $\ker w$ y $\mathrm{im\, }\beta$ o entre $\ker\beta'$ y $\mathrm{im\, } v$ ..
1 votos
Sí, un gran error, culpa mía... En realidad, sólo las líneas constituyen secuencias exactas... Pensé que eran todos los caminos hechos por las flechas (espero ser claro)... Voy a empezar de nuevo desde el principio.