Encuentre el valor máximo de $ \left| \int_{0}^{1}(f(x))^2-f(x)dx \right| .$

Question

Supongamos que $ f $ es una función continua de $ [0, 1] $ a $ [-1, 1] $ con $ |f(x)|\leq x, x\in [0, 1] $ . Encuentre el valor máximo de $$ \left| \int_{0}^{1}(f(x))^2-f(x)dx \right| .$$

He probado lo siguiente:

\begin{align*} \left| \int_{0}^{1}(f(x))^2-f(x)dx \right|&=\left| \int_{0}^{1}(f(x)-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4})dx \right| \\ &=\left| \int_{0}^{1}(f(x)-\frac{1}{2})^2dx-\frac{1}{4}\right| \end{align*} Así que tenemos que encontrar algún $ f(x) $ para hacer $ \int_{0}^{1}(f(x)-\frac{1}{2})^2dx $ tan lejos de $ \frac{1}{4} $ como sea posible. Entonces estoy atascado...

Answer 1

Considere la función $g(x) = x^2 - x$ definido en el intervalo $[-a, a]$ , donde $0 \le a \le 1$ . Donde es el máximo de $g(x)$ ? ¿Cuál es este valor máximo?

Desde $g(x)$ es una parábola convexa, con sólo mínimos locales en el interior del intervalo el máximo debe ocurrir en un punto final, es decir, en $a$ o $-a$ . Comparando, tenemos, $$g(-a) = a^2 + a \ge a^2 - a = g(a),$$ por lo que el valor máximo se produce en $x = -a$ .

Ahora bien, si $f : [0, 1] \to [-1, 1]$ con $|f(x)| \le x$ para todos $x \in [0, 1]$ entonces $$f(x)^2 - f(x) \le x^2 + x,$$ utilizando lo anterior con $a = x$ . Este máximo se alcanza cuando $f(x) = -x$ . Dada esta desigualdad puntual, se deduce que $$\int_0^1 f(x)^2 - f(x) \; \mathrm{d}x \le \int_0^1 x^2 + x \; \mathrm{d}x = \frac{5}{6}.$$

Answer 2

Dejemos que $A=\{f\in \mathcal C([0,1],[-1,1])\;,\; \forall x, |f(x)|\leq x\}$ . No es difícil demostrar que $$\sup_{f\in A}\left|\int_0^1f^2-f \right|= \max\left(\sup_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right], -\inf_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right] \right)$$

Además, para $f\in A$ , $f^2(x)\leq x^2$ Por lo tanto $\int_0^1 f^2-f\leq \int _0^1(x^2+x) dx=\frac 56$ y este límite superior se alcanza para $f(x)=-x$ Por lo tanto $\sup_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right] = \max_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right]=\frac 56$ .

Tenga en cuenta también que $\int f^2-f\geq -\int_0^1 f\geq -\int_0^1 x=-\frac 12$ . Por lo tanto, $\inf_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right]\geq -\frac 12$ y $$\max\left(\sup_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right], -\inf_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right] \right) = \sup_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right] = \max_{f\in A}\left[\int_0^1f^2-f\right]=\frac 56$$ así $$\sup_{f\in A}\left|\int_0^1f^2-f \right|=\frac 56$$ y el límite superior se alcanza para $x\mapsto -x$ .