Continuidad de un armónico integral

Question

Considerar el abrir de la unidad de disco $\mathbb{D}$ en $\mathbb{R}^2$. Dada una función continua $f : \partial\mathbb{D} \to \mathbb{R}$ definimos $$ u(x) \desbordado{\texttt{def}}{=} \int_{\parcial \mathbb{D}} f(y)\ln\left\vert x-y\right\vert\,\mathrm{d}S(y) $$ para cualquier punto de $x \in \overline{\mathbb{D}}$.

He comprobado que esta integral existe para todas las $x$ pertenecen al cierre de $\mathbb{D}$.

Utilizando el teorema de convergencia dominada, también he demostrado que $u$ es armónica en $\mathbb{D}$. En particular, $u \in C(\mathbb{D})$. Sin embargo, he sido incapaz de demostrar que $u$ es continuo, hasta el límite de $\mathbb{D}$. Dominado convergencia no parece aplicarse aquí, ya que el logaritmo de los golpes como $x$ se acerca a un punto en el límite. Sospecho que voy a tener que usar el hecho de que $u$ es armónica en el disco abierto para probar esto.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Considere la posibilidad de $x_0 \in \partial \mathbb{D}$ y un disco abierto $B_r(x_0)$ de radio r, donde a$|x -x_0| <r$.

Tenemos

$$\tag{*}|u(x) - u(x_0)| \\ \leqslant \left|\int_{\partial \mathbb{D} - B_r(x_0)}f(y) [\ln |x-y|-\ln|x_0-y|] \, dS(y) \right| + \left|\int_{\partial \mathbb{D} \cap B_r(x_0)}f(y) \ln |x-y| \, dS(y) \right|+ \left|\int_{\partial \mathbb{D} \cap B_r(x_0)}f(y) \ln |x_0-y| \, dS(y) \right|$$

La elección de $|x - x_0|$ (e $r$) lo suficientemente pequeño que puede hacer cada término en el lado derecho de (*) menor que $\epsilon/3$.

Para el segundo y tercer términos que pueden utilizar el mismo argumento que prueba que la integral existe.

Para el primer término tenga en cuenta que $||x-y| - |x_0-y|| \leqslant |x - x_0|$. Desde $x,x_0 \neq y$ para $y \in \partial \mathbb{D} - B_r(x_0)$ y el logaritmo de la función es continua, se tiene por suficientemente pequeño $|x-x_0|$ e $M = \sup_{y \in \partial \mathbb{D}} f(y),$

$$| \ln |x-y| - \ln |x_0-y|| < \frac{\epsilon}{6\pi M}, $$

lo que implica que el primer término en el lado derecho de (*) es menos de $\epsilon/3$.

Para ser más precisos, el argumento se basa en la primera elección de $r$ tal que la contribución del segundo y tercer términos en el lado derecho de (*) es menor que $2\epsilon/3$. A continuación, nos muestran que $|\ln|x -y| - \ln|x_0 - y|| \to 0$ como $x \to x_0$ uniforme para $y \in \partial \mathbb{D} - B_r(x_0)$