Uno también tiene el clásico Gorro-Myers y Synge teoremas.
El Capó del motor-Myers teorema establece que si $M$ se completa con la curvatura de Ricci delimitada por debajo de $\delta > 0$, $M$ es compacto, con finito grupo fundamental.
La idea de la prueba es la opuesta de la de Matt E de la respuesta. En positivo (seccional), la curvatura, geodesics tienden a atascarse juntos. Utiliza esto para mostrar que geodesics pasado de una cierta longitud (algo parecido a $\pi/\delta^2$) no puede continuar para minimizar.
De ello se sigue que si $B_r(0)\subseteq T_p M$ es cualquier bola cerrada con radio de $r > \pi/\delta^2$,$exp(B_r(0)) = M$. En particular, ha escrito $M$ como el pacto de la imagen de una función continua por lo que es compacto.
El teorema sobre el grupo fundamental es un corolario inmediato: mira la universalización de la cobertura $\tilde{M}$. Uno puede "tirar" la métrica de modo que la cubierta mapa es una isometría. Por lo tanto, la misma curvatura estimaciones se aplican a $\tilde{M}$, por lo que, también, debe ser compacto. Pero un compacto colector sólo puede finitely cubrir algo, por lo que el grupo fundamental de la $M$ es finito.
Para impulsar esta a Ricci, uno de ellos utiliza un buen truco: si $\text{Ric} > 0$, entonces la curvatura seccional en algunas direcciones deben ser $> 0$, y uno utiliza estas direcciones sólo para mostrar geodesics finalmente deje de minimizar.
El Synge, los teoremas tienen un estilo diferente de la prueba. He aquí una versión del teorema: supongamos $M$ es compacto, con curvatura positiva, y $f:M\rightarrow M$ es una isometría. Supongamos $\text{dim}(M)$ es incluso y $f$ es la orientación de la preservación de la O $\text{dim}(M)$ es impar y $f$ es la orientación de la inversión. A continuación, $f$ tiene un punto fijo.
La prueba es sencilla: supongamos que no. Elija $p\in M$ $d(p,f(p))$ tan pequeño como sea posible. Elegir un mínimo geodésica de$p$$f(p)$. Uno, a continuación, calcula las variaciones de la línea geodésica (este utiliza la paridad de la dimensión, si recuerdo correctamente), y muestra que algunos cercanos geodésica es menor, contradiciendo su elección de $\gamma$.
Como corolario, uno se entera de que el grupo fundamental de una dimensión positiva curva compacto colector es trivial o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Para, supongamos $M$ satisface todas las hipótesis. Mira la cubierta de acción del grupo sobre el $\tilde{M}$. Si la orientación de la conservación, tiene un punto fijo, pero la única cubierta de transformación con un punto fijo es la identidad. Si la orientación de la inversión, luego de la plaza de la orientación de la conservación, y por lo tanto es la identidad, por lo que todos los elementos son de orden 2 en $\pi_1$. Si hay 2 orientación revertir los mapas, entonces su producto es la orientación de la preservación y, por tanto, la identidad, por lo que hay un elemento de orden 2.
Asimismo, en dimensiones impares, el corolario es que el $M$ debe ser orientable, desde la cubierta de grupo debe actos en $\tilde{M}$ por la orientación de la preservación de los mapas.
Por último, a sólo azar contestar una de tus preguntas, la curvatura puede afectar a más homotopy grupos. Como Matt Correo señalado, en negativo (en realidad, el valor no positivo), la curvatura, la universalización de la cobertura es $\mathbb{R}^n$, lo que implica todos los más altos homotopy grupos de desaparecer. En curvatura positiva, esto es muy importante, y en la actualidad problema sin resolver.
