Mínimo de!

Question

<blockquote> <p>Me gustaría encontrar el mínimo de</p> <p><span class="math-container">$$f(x)=\left(\frac{1+\sin^2x}{\sin^2x}\right)^n+\left(\frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}\right)^n,$$</span></p> <p>donde <span class="math-container">$n$</span> es un número natural.</p> </blockquote> <p>Sé que es posible por derivados, pero</p> <p><span class="math-container">$$f'(x)=n \left(\left(\cos ^2(x)+1\right) \sec ^2(x)\right)^{n-1} \left(2 \left(\cos ^2(x)+1\right)\tan (x) \sec ^2(x)-2 \tan (x)\right)+n \left(\left(\sin ^2(x)+1\right) \csc^2(x)\right)^{n-1} \left(2 \cot (x)-2 \left(\sin ^2(x)+1\right) \cot (x) \csc^2(x)\right).$$</span></p> <p>Creo que esta no es la mejor manera.</p>

Answer 1

Usted está probablemente en lo cierto. Pero hay una manera sin el uso de cálculo. Sólo debe utilizar la desigualdad de Cauchy:

$$ \frac{a_1+a_2}{2}\geq \sqrt{a_1a_2}.$$

---

$$ \left(\frac{1+\sin^2x}{\sin^2x}\right)^n+\left(\frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}\right)^n=\left(1+\frac{1}{\sin^2x}\right)^n+\left(1+\frac{1}{\cos^2x}\right)^n \geq \\ \geq 2\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{\sin^2x}\right)\left(1+\frac{1}{\cos^2x}\right)}\right)^n=2\left(\sqrt{1+\frac{1}{\sin^2x}+\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}}\right)^n= \\ = 2\left(\sqrt{1+\frac{2}{\sin^2x\cos^2x}}\right)^n=2\left(\sqrt{1+\frac{8}{\sin^22x}}\right)^n\geq 2\left(\sqrt{1+8}\right)^n=2\cdot3^n$$

Ahora debemos probar que existe $x_1$ tal que $f(x_1)=2\cdot3^n$.

---

Para ello, observe que $f(x)=2\cdot3^n$ es equivalente al siguiente sistema de

\begin{cases} \sin^2x=\cos^2x, \\ \sin^22x=1, \end{casos}

que ha $x_1=\pi/4$ como solución. Ahora tenga en cuenta que

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1+1/2}{1/2}\right)^n+\left(\frac{1+1/2}{1/2}\right)^n=2\cdot3^n.$$

---

Por lo tanto, el valor mínimo de $f(x)$ es

$$f_{min}=2\cdot3^n.$$