Simplificar aún más$\tan(\alpha+\beta)-\tan(\beta)$

Question

Se me ocurrió con la fórmula

\begin{align*} \tan(\alpha+\beta)-\tan(\beta) \end{align*}

pero me sigo preguntando, si es posible simplificar aún más este, en, por ejemplo, el uso de la $\tan$ una vez. He intentado utilizar la adición teoremas de la trigonometría, pero estos parecen complicar aún más.

Ya he probado algo parecido a esto:

\begin{align*} r & =\tan(\alpha+\beta)-tan(\beta) \\ & = \frac{\tan\alpha + \tan \beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}-\tan\beta \\ & = \frac{\tan\alpha + \tan \beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}-\frac{(1-\tan\alpha\tan\beta)(\tan\beta)}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \\ & = \frac{(\tan\alpha+\tan\beta)-(\tan\beta-\tan\alpha\tan^2\beta)}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ & = \frac{\tan\alpha+\tan\alpha\tan^2\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{align*}

pero en este momento estoy bastante pegado en probar lo siguiente.

Answer 1

Continuando desde donde te fuiste:

ps

Ahora$$\frac{\tan\alpha+\tan\alpha\tan^2\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\tan\alpha(1+\tan^2\beta)}{1-\tan\alpha\tan\beta}$, entonces tenemos:

ps

Ahora sabemos, $\displaystyle 1+\tan^2\beta=\sec^2\beta=\frac{1}{\cos^2\beta}$

Así que tienes:

ps

Editar : Acabo de mostrarte cómo simplemente desde donde te fuiste. En lugar de hacer eso, convierta directamente sus identidades en$$\begin{align*}\frac{\tan\alpha(1+\tan^2\beta)}{1-\tan\alpha\tan\beta}&=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha\cos^2\beta}}{1-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\&=\frac{\sin\alpha}{cos\beta(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}\end{align*}$ y$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)$ como se sugirió @ Blue . Sería más rápido y requeriría mucho menos esfuerzo en comparación con esta manera indirecta.

Answer 2

La expresión

$$\tan(\alpha+\beta)-\tan(\beta)$$ goes to infinity for $\alpha+\beta=\dfrac\pi2+m\pi$ and $\beta=\dfrac\pi2+n\pi$.

Suponiendo que esto puede ser expresado como una fracción, el denominador debe tener raíces en estos valores, es decir, que tiene factores de $\cos(\alpha+\beta)\cos(\beta)$o $\sin(\alpha)\cos(\beta)$.

El numerador es obvio que no es una constante, de modo que no parece posible, para simplificar, es decir, para expresar la misma cantidad con menos de dos funciones trigonométricas.

Answer 3

ps