Asientos: pregunta sobre los índices de solución y Resumen del libro

Question

$20$ de las personas se sentarán en siete mesas, tres de los cuales tiene 4 asientos y cuatro de los cuales tiene 2 asientos. Si la gente está sentado al azar, encuentre el valor esperado del número de parejas casadas que están sentados en la misma mesa.

Mi pregunta 1:

En el libro de la solución (ver imagen de abajo), no entiendo la última igualdad, específicamente los índices que van de $i=1$ a $22$ e $19$ respectivamente. Parece que ambos deben ir de $i=1$ a $10$.

Mi pregunta 2:

A donde voy equivocado en mi planteamiento?

Deje $X$ el número de parejas casadas sentado en la misma mesa. Deje $X_i = 1$ si par $i$ está sentado en la misma mesa para $i=1,...,10$. Entonces

$$E[X] = E\left[\sum_{i=1}^{10} X_i \right] = \sum_{i=1}^{10} E\left[X_i \right] = 10 \cdot P(X_1 = 1)$$

donde la última igualdad proviene de la LOE y de la simetría. Para encontrar $P(X_1 = 1)$ me va a condicionar en el caso de $A =$ el marido está en una mesa con $4$ asientos y en el caso de $B =$ el marido está en una mesa con $2$ asientos.

$$P(X_1 = 1) = P(X_1 = 1 \mid A)P(A) + P(X_1 = 1 \mid B)P(B)$$

$$=\frac{3}{19}\frac{12}{20}+\frac{1}{19}\frac{8}{20} \approx .1157$$

y por lo $E[X] \approx 1.157$ que no coincide con el libro de solución de $2.48$. A donde voy fuera de los carriles?

Gracias por su ayuda y paciencia.

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Libro de solución

Answer 1

Eres justo en todos los cargos. Los límites de las sumas son incorrectos, y si corregirlos, el resultado en el libro coincide con el suyo (excepto el resultado correcto se redondea a <span class="math-container">$0.1158$</span>, no <span class="math-container">$0.1157$</span>).