Una pregunta sobre el libro de Voisin

Question

Me quedé atrapado en algún punto de Voisin del libro teoría de Hodge y compleja geometría algebraica II. Está en la página 58, la prueba del lema 2.26:

Deje $X \subset \mathbb {CP}^{N}$ ser $n$-dimensional compacta complejo múltiple de admisión, y $Y$ ser un hyperplane sección. Tomar cualquier general hyperplane sección $X_{\infty}$, establezca $B= Y\cap X_\infty$ y deje $\tilde X$ ser el golpe de $X$ a lo largo de la $B$. A continuación, afirma $$ker(H_{n-1}(Y)\to H_{n-1}(X))=ker(H_{n-1}(Y)\to H_{n-1}(\tilde X-X_\infty))$$

Quiero saber por qué esto es cierto? (En el libro dice esto sigue del corolario 2.23 pero yo no veo cómo)

Mi intento

Ya hay un mapa $$\tilde X-X_\infty \hookrightarrow \tilde X \to X$$ esperamos que la composición induce el mapa en cohomology a ser inyectiva.

Mientras tanto, el corolario 2.23 dice

$$H_{n-1}(\tilde X-X_\infty) \to H_{n-1}(\tilde X)$$ es inyectiva. Tan sólo tiene que mostrar el otro mapa es inyectiva. Sin embargo, esto no parece cierto. Por ejemplo, podemos tomar $X=\mathbb{CP^3}$ e $\tilde X$ es volar $\mathbb {CP^3}$ a lo largo de una línea. A continuación, el golpe hacia abajo del mapa contrato de algunos $S^2$, de ahí que la inducida por el mapa en $H_2$ no puede ser inyectiva.

Answer 1

Lema: Si una homología de la clase $\alpha$ en $H_{n-1}(\widetilde{X})$ se tiene un representante, apoyado por la excepcional divisor, entonces la imagen es $0$ en $H_{n-1}(X)$ bajo el mapa inducida por el golpe hacia abajo. Además, esta es una equivalencia: cualquier clase enviados a $0$ bajo el mapa inducida por el golpe hacia abajo $Bl:\widetilde{X}\to X$ se tiene un representante contenida en el divisor excepcional.

Prueba: Supongamos $\alpha$ tiene un representante, apoyado en el divisor excepcional. A continuación, la imagen de este representante es contenida en un pequeño dimensiones subvariedad, y por lo tanto representa el $0$ en $H_{n-1}(X)$. Para mostrar que esta afirmación es una equivalencia, supongamos que $\beta\neq 0 \in H_{n-1}(\widetilde{X})$ no tiene un representante, apoyado en el divisor excepcional. A continuación, $Bl_*(\beta)$ no tiene ningún representante contenida en la subvariedad cerrada estamos volando, y por lo tanto si $\beta$ fue distinto de cero en $H_{n-1}(\widetilde{X})$, debe ser distinto de cero en $H_{n-1}(X)$.

En particular, esto demuestra que cualquier valor distinto de cero de la clase en la imagen de $H_{n-1}(\widetilde{X}-X_\infty)\hookrightarrow H_{n-1}(\widetilde{X})$ no puede ser enviado a $0$ bajo el mapa compuesto: cualquier clase no puede tener un representante contenida en el divisor excepcional. Por lo tanto, el mapa compuesto es inyectiva, y combinado con el trabajo en su post, esto demuestra la declaración.