Hallar las soluciones enteras positivas de $m!=n(n+1)$

Question

Hallar las soluciones enteras positivas de $m!=n(n+1)$

Básicamente tengo $(m,n)=(2,1)$ o $(3,2)$ y creo que estas son las únicas soluciones.

No tengo una prueba completa, pero esto es lo que sé hasta ahora. Por el postulado de Bertrand, puedo encontrar primos $p$ en la "segunda mitad" de $m!$ . Si $m>4$ entonces $p$ es impar.

$(n,n+1)=1$

Supongamos que $n$ ser par. Entonces $n+1$ ser impar. También, $n=2^kq$ donde $k$ es el número máximo de veces $2$ puede dividir $m!$ .

¿Qué más se puede hacer?

Answer 1

Es muy poco probable que este problema pueda resolverse con las técnicas actuales. Véase BROCARD y la sección D25 en Problemas sin resolver en Teoría de Números por Richard K. Guy.

Berend y Osgood demostraron en 1992 que el conjunto de soluciones a $P(x) = n!$ tiene una solución entera tiene densidad cero si $P(x)$ es un polinomio fijo de grado al menos dos con coeficientes enteros. Entre los resultados condicionales, F. Luca demostró que la conjetura ABC implica que el número de soluciones de $P(x) = n!$ es finito. Luca puede descargarse de la página de wikipedia.

Por si ha habido un malentendido al plantear el problema, existe una familia infinita de soluciones para $$ m! = n! \; (n+1)!, $$ en que $$ (x!)! = (x! -1)! \; x!, $$ así que $m=x! \; , \; n = x! -1.$