Una forma poco ortodoxa de convertir una secuencia recurrente en una no recurrente

Question

El problema es:

Una secuencia es dada por: $$ a_1 = 2016, a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 4 + \frac{1}{a_n^{222}}}$$ Encontrar: $$ (a) \quad \lim_{n \to \infty}{a_n} \quad (b) \lim_{n \to \infty}{\frac{a_n^2}{n}} \quad (c) \lim_{n \to \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n}{a_k}}{n \sqrt{n}}}$$

El (a) la parte I, fue capaz de resolver por demostrar que la sucesión es creciente y no acotada por arriba. Por lo tanto $$ \lim_{n \to \infty}a_n = +\infty$$

Luego, por (b) he aplicado el Stolz teorema: $$ \lim_{n \to \infty}{\frac{a_n^2}{n}} = \lim_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}^2 - a_n^2}{n+1-n}} = \lim_{n \to \infty}{(a_n^2 + 4 + \frac{1}{a_n^{222}} - a_n^2)} = \lim_{n \to \infty}{(4 + \frac{1}{a_n^{222}})} = 4$$

Pero el (c) parte es donde me confundo. He tratado de aplicar el Stolz teorema de allí también, pero no hubo suerte ya que el n de no cancelar, como lo hicieron en (b).

Yo tengo una cosa en mi mente, pero aunque no estoy seguro de cómo formalmente correcta es. Echemos un vistazo a los primeros de la secuencia de los miembros: $$a_1 = 2016, a_2 = \sqrt{2016^2 + 4 + \frac{1}{2016^{222}}}, a_3 = \sqrt{2016^2 + 4 + \frac{1}{2016^{222}}+ 4 + \frac{1}{a_2^{222}}} = \sqrt{2016^2 + 8 + \frac{1}{2016^{222}} + \frac{1}{a_2^{222}}}$$

Y ahora como seguimos adelante vamos a conseguir un nuevo $$ \frac{1}{a_n^{222}}$$ miembro en el interior de cada uno de los n. Por lo que todavía hace que esta secuencia recursiva. Pero puedo simplemente ignorar esa parte, ya que, obviamente, siempre converge a cero, no importa cuál sea el valor de n es? O tal vez yo podría decir algo como

$$ \text{Let } \frac{1}{a_n^{222}} = Z(n) \quad \text{ Then } \lim_{n \to \infty}Z(n) = 0 \quad (\forall n)$$

Y ahora debo escribir mi secuencia como:

$$ a_n = \sqrt{(2016)^2 + 4(n-1) + \sum_{i=1}^{n-1}Z(i)} \quad \forall n \geq 2$$

Ahora vamos a ver finalmente el (c) problema:

$$\lim_{n \to \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n}{a_k}}{n \sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty}{\frac{a_1 + a_2 + ... +a_n}{n \sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty}{\frac{2016 + \sqrt{2016^2 + 4 + Z(1)} + ... + \sqrt{2016^2 + 4(n-1) + \sum{Z(n})} }{n \sqrt{n}}}$$

Y ahora voy a aplicar Stolz teorema:

$$ = \lim_{n \to \infty}{\frac{\sqrt{2016^2 + 4n + \sum{Z(n+1)}}}{(n+1)\sqrt{n+1} - n\sqrt{n}}} = 0 $$

Desde la parte superior grado de $n$ es $\frac{1}{2}$ y el de abajo es $ \frac{3}{2}$.

Así que ¿alguien puede decirme si esta solución es la correcta? Si no, ¿cómo se podría solucionar? Si es correcto, pero mi proceso está mal, también me gustaría saber de donde me salió mal.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para $a$ podemos ir como esto:

La secuencia es claramente creciente, es también positivo, sólo tenemos que demostrar que el límite es infinito. Si fuera finito y es igual a $g\geq a_1>0$, tendríamos $$g=\sqrt{g^2+4+\frac{1}{g^{222}}}\implies \frac{1}{g^{222}}=-4 $$ que es imposible, que el $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$.

Su solución para $b$ se ve bien.

Para $c$:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_k}{n^{3/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}+\frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{(3/2)\sqrt{n}} = \frac{2}{3}\cdot2 = \frac{4}{3} $$ La primera igualdad es Stolz del teorema, $$(n+1)^{3/2}-n^{3/2} = n(n+1)^{1/2}+(n+1)^{1/2}-n^{3/2}=\\=n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+\sqrt{n+1}=\frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}+\sqrt{n+1},$$ for the second we used that $\frac{\frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}\a 3/2$ as $n\to\infty$, tercer hemos calculado anteriormente.

Acerca de su enfoque, el problema era que la parte inferior se comporta como $n^{1/2}$, no como $n^{3/2}$. $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2016^2+4n+\sum_{k=1}^n Z(k)}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2016^2+4n+\sum_{k=1}^n Z(k)}}{(3/2)\sqrt{n}}=\\= \lim_{n\to\infty} \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2016^2}{n}+4+\frac{\sum_{k=1}^n Z(k)}{n}}$$ Pero $$\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n Z(k)}{n} = \lim_{n\to\infty} Z(n) = 0 $$ Así que $$\lim_{n\to\infty} \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2016^2}{n}+4+\frac{\sum_{k=1}^n Z(k)}{n}} = \frac{2}{3}\cdot\sqrt{4} = \frac{4}{3}. $$