Comprender la convergencia en el espacio de las teorías completas

Question

Deje $L$ ser una lengua dada y $\mathcal{T}$ ser el juego completo de las teorías en ese idioma. Damos una topología de a $\mathcal{T}$ considerando básicos como abrir los conjuntos los conjuntos de la forma $\langle \phi \rangle = \{T \in \mathcal{T} \; | \; T \models \phi\}$. No es difícil ver que esta topología es Hausdorff y totalmente desconectado, y además el teorema de compacidad garantiza que también compacto.

Ahora, estoy tratando de comprender lo que significa para un conjunto de teorías de la convergencia a una teoría dada en este espacio. Si el conjunto es contable, pensé en la siguiente definición: vamos a $T_0, T_1, T_2, \dots$ ser una contables de la secuencia de teorías en $\mathcal{T}$ e $T$ una teoría dada. Para cada conjunto abierto $U$, asociado $Z_U = \{ n \in \mathbb{N} \; | \; T_n \in U\}$. Deje $F = \{ U \; | \; Z_U \text{ is cofinite}\}$. A continuación, $F$ es un filtro, y decimos que $T_0, T_1, \dots$ convergen a $T$ fib en cada barrio de $T$ está contenido en $F$. Intuitivamente, esto parece significar que para cada conjunto de fórmulas validadas por $T$, hay infinitamente muchas teorías en la secuencia en la que además de validar, por lo que estas teorías son todos "cerrar" a $T$.

Es esta definición de convergencia de la derecha? Puede ser generalizada para conjuntos de teorías de mayor cardinalidades, es decir, podemos formar para un determinado cardenal $\aleph_\alpha$ el conjunto $F = \{U \; | \; |Z_U| = \aleph_\alpha\}$ (modificación de la definición de $Z_U$) y, a continuación, dar la definición de la misma (me refiero a, ¿esta definición de trabajo)? Por otra parte, es mi intuición correcta, o es que hay una manera más intuitiva de pensar acerca de esto?

Answer 1

En cualquier espacio topológico $X$, tenemos la siguiente definición estándar: Una secuencia de puntos de $(x_i)_{i\in \mathbb{N}}$ converge a un punto de $x$ si y sólo si para cada abierto vecindario $U$ de $x$, todos excepto un número finito de la $x_i$ están en $U$ (equivalentemente, $\{i\in \mathbb{N}\mid x_i\in U\}\in F$, donde $F$ es el cofinite filtro en $\mathbb{N}$). [Nota de que mi notación es ligeramente diferente a la tuya. Su $F$ es el pushforward de la cofinite filtro en $\mathbb{N}$ por la indexación de mapa de $g\colon i\mapsto x_i$. Es decir, un conjunto $U$ es en su $F$ si y sólo si $g^{-1}(U) = \{i\in \mathbb{N}\mid x_i\in U\} = Z_U$ es en mi $F$.]

Cuando se utiliza esta definición en el contexto de la Piedra espacio de total $L$-teorías, de obtener una razonable idea de la convergencia de una secuencia de teorías $(T_i)_{i\in \mathbb{N}}$ a un límite de la teoría de la $T$. Esta noción de convergencia de acuerdo con la idea intuitiva de que ultraproducts son una especie de "lógica del límite" de las estructuras. Es decir, $(T_i)_{i\in \mathbb{N}}$ converge a $T$, y si $M_i\models T_i$ para todos los $i\in \mathbb{N}$, entonces para cualquier no-director de ultrafilter $U$ a $\mathbb{N}$, tenemos $\prod_{i\in I} M_i / U\models T$ por Łoś del teorema (esto es debido a que todos los no-director de ultrafilter contiene el cofinite filtro).

Preguntar acerca de la generalización de este a conjuntos de teorías de mayor cardinalidad. Usted puede hacer eso, y llegar exactamente a la teoría de la convergencia, en general, de la topología de la utilización de filtros en lugar de secuencias. Pero su definición propuesta podría ser problemático: si el conjunto de puntos tiene el tamaño de $\aleph_\alpha$, la $F = \{U \mid |Z_U| = \aleph_\alpha\}$ podría no ser un filtro! De hecho, usted puede dividir un conjunto de tamaño $\aleph_\alpha$ en dos conjuntos disjuntos tanto de tamaño $\aleph_\alpha$ (cuando $\alpha = 0$, simplemente tomar los números pares e impares). Usted todavía puede hacer la definición, pero si no se utiliza un filtro, usted podría obtener varios límite de puntos. Si el conjunto de índices es $I$, $|I| = \aleph_\alpha$, luego la adecuada generalización de la cofinite filtro es $\{U\mid |I\setminus Z_U|<\aleph_\alpha\}$.

A continuación, puede generalizar la conexión con ultraproducts arriba. Pero ahora si corrige un filtro de $F$ en el conjunto de índices $I$, y utilizar el pushforward filtro para definir una noción de convergencia en el espacio de las teorías, usted encontrará que $\prod_{i\in I} M_i/U\models T$ exactamente cuando el ultrafilter $U$ extiende el filtro de $F$.