Deje $(X,d_1)$ e ($X,d_2)$ ser métrica espacios. Si las siguientes son de nuevo los parámetros de $X$ ?
a) $d(x,y)=\text{min}\;\{d_1(x,y),d_2(x,y)\}$
b) $h(x,y)=\Big(\frac{d_1}{d_2}\Big)(x,y)$ donde $x \neq y$ e $h(x,x)=0$
En realidad la respuesta para la primera opción ya está disponible en este sitio. Pero lo menciono aquí es comprobar mi ejemplo.
Tome $X=\Bbb{R}$ e $d_1(x,y)=\vert x -y\vert$ e $d_2(x,y)=\vert x^3-y^3\vert$ y tome $x=0, y=1/2 ,z=1$
Ahora $$d(0,1)=\text{min}\;\{1,1\}=1$$
$$d(0,1/2)=\text{min}\;\{1/2,1/8\}=1/8$$
$$d(1/2,1)=\text{min}\;\{1/2,7/8\}=1/2$$
Pero $1=d(0,1) \leq d(0,1/2)+d(1/2,1)=1/8+1/2=0.625$ no espera.
Por lo tanto $d$ no es una métrica!
Es esto correcto? ¿y qué acerca de b? Alguna ayuda?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
a) Sí, su contraejemplo funciona a la perfección.
b) es falso, porque el contraejemplo deje $d_1$ ser la métrica discreta en $\mathbb{R}$ (es decir, $d_1(x,y)=0$ si $x=y$ e $d_1(x,y)=1$ si $x \neq y$) y $d_2 = \vert x -y\vert$ en $\mathbb{R}$ . Entonces
$$h(0,100) + h(100,1) = \frac{d_1(0,100)}{d_2(0,100)} + \frac{d_1(100,1)}{d_2(100,1)} = \frac{1}{100} + \frac{1}{99} < 1 $$
y
$$h(0,1) = \frac{d_1(0,1)}{d_2(0,1)} = \frac{1}{1}=1$$
Por lo tanto $h(0,100) + h(100,1) < h(0,1)$
