¿Qué dice el teorema de la representación de Riesz?

Question

$\newcommand{\R}{\mathbf R}$ $\newcommand{\C}{\mathbf C}$

Estoy confundido por las diferentes afirmaciones del teorema de la representación de Riesz que se encuentran en Internet. Así que quiero aclarar la confusión de una vez por todas.

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico compacto.

$\bullet$ $M_s(X)$ denota el conjunto de todas las medidas de Borel con signo finito sobre $X$ .

$\bullet$ $M_c(X)$ denota el conjunto de todas las medidas complejas de Borel sobre $X$ .

$\bullet$ $M(X)$ denota el conjunto de todas las medidas de Borel finitas (positivas) sobre $X$ .

$\bullet$ $C(X, \R)$ denota el espacio de todos los mapas continuos de valor real en $X$ en la topología supranormal. Se trata naturalmente de un espacio lineal real.

$\bullet$ $C(X, \C)$ denota el espacio de todos los mapas continuos de valores complejos en la topología de la sup-norma. Este es naturalmente un espacio lineal complejo.

$\bullet$ $C(X, \R)^*$ denota el espacio de todos los mapas lineales reales acotados con dominio $C(X, \R)$ .

$\bullet$ $C(X, \C)^*$ denota el conjunto de todos los mapas complejos-lineales acotados de valor complejo con $C(X, \C)$ como el dominio.

Un miembro $F\in C(X, \R)^*$ o $C(X, \C)^*$ se dice que positivo si $F(f)\geq 0$ siempre que $f\geq 0$ .

RRT1. El mapa $M_s(X)\to C(X, \R)^*$ definido por $\mu\mapsto (f\mapsto\int_Xf\ d\mu)$ es biyectiva.

RRT2. El mapa $M(X)\to C(X, \R)^*$ definido por $\mu\mapsto (f\mapsto\int_Xf\ d\mu)$ es inyectiva y tiene su imagen como el conjunto de todos los miembros positivos de $C(X, \R)^*$ .

RRT3 El mapa $M_c(X)\to C(X, \C)^*$ definido como $\mu\mapsto (f\mapsto \int_X f\ d\mu)$ es biyectiva.

RRT4 El mapa $M(X)\to C(X, \C)^*$ definido por $\mu\mapsto (f\mapsto\int_X f\ d\mu)$ es inyectiva y tiene su imagen como el conjunto de todos los miembros positivos de $C(X, \C)^*$ .

¿Cuál o cuáles de los puntos anteriores son verdaderos?

Answer 1

Si no me equivoco todas las versiones deberían ser correctas.

Una forma de probar RRT1 sería mostrar primero RRT2 y luego aplicar la descomposición de Hahn-Jordan para una medida dada. (ver Elias M. Stein y Rami Shakarchi. Análisis funcional: Introducción a otros temas de análisis , capítulo 1.7)

Para verificar RRT3 utilice RRT1 en la parte real e imaginaria de una medida dada.

Finalmente la inyectividad de RRT4 se desprende de RRT2 . Supongamos que existe un funcional positivo $\varphi$ que no es la imagen de un elemento $m \in M(X)$ . Según RRT3 encontramos una medida compleja de Borel $\mu + i\nu$ ( $\mu,\nu \in M_s(X)$ ) para que $\varphi(f) = \int_Xf\ d(\mu + i\nu$ ). Supongamos que $\nu \neq 0$ entonces encontramos un conjunto de Borel $B$ avec $\nu(B) \neq 0$ . Podemos aproximar la función característica $\chi_{B}$ mediante funciones continuas positivas $f_n$ en $L^1$ ( $\rightarrow$ mollares). Por lo tanto, $\nu(B)= Im(\mu + i\nu(B)) = \lim_{n \to \infty} Im(\varphi(f_n) )=0$ ya que $\varphi$ es positivo. Por lo tanto, $\nu = 0$ y por RRT2 $\mu$ debe estar en $M(X)$ . Así, RRT4 es cierto.