Estoy resolviendo un problema que me pide para encontrar cuántos números de 5 dígitos con distintos dígitos hay que también son divisibles por $3$. Estoy enterado de que hay $9\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=27216$ números de cinco dígitos con distintos dígitos. Yo sé que un número natural $n$ es divisible por $3$ iff la suma de los dígitos en un número divisible por $3$. Ahora, la fuerza bruta mediante un algoritmo de computadora, me encontré con que el resultado es $20928$. Sin embargo, yo estoy interesado, si existe una solución matemática para esto. Sé cómo encontrar la cantidad de números divisibles por $4$ o $5$. Nos acaba de fijar una cierta cantidad en los últimos dos (o último) dígitos. Pero el criterio de divisibilidad por $3$ es muy diferente de aquellos y no tengo idea de cómo empezar. Finalmente, me gustaría encontrar una fórmula general para $n$-números de dos dígitos.
Edit: Equivallently queremos saber cuántos solución de la ecuación de $a+b+c+d+e=3k$ para $a,b,c,d,e\in\{0,1,2,...,9\}$, $a\neq 0$ también $a,b,c,d,e$ son todos distintos y $k\in\mathbb{Z}$ (la más alta posible de la $k$ es en este caso el $k=11$, el más pequeño $k=5$)
Editar (2): de Acuerdo a las ideas de la respuesta. Hacer $A=\{0,3,6,9\},B=\{1,4,7\}, C=\{2,5,8\}$. Vamos a ir a través de los casos que en el número de $n$ hay $0,1,2,3,4$ dígitos de $A$.
i) Supongamos que ninguno de $A$ es de $n$. No podemos formar un número divisible por tres. Tenemos que tomar de 5 números, que es $3$ de $A$ e $2$ de $B$ o $2$ de $A$ e $3$ de $B$. Ninguna de las expresiones de $3(3k+1)+2(3k+2)$ e $2(3k+1)+3(3k+2)$ son divisibles por tres.
ii) Dejar $1$ dígitos de $A$ en $n$. La cantidad de formas de elegir el dígito es $5$. Ahora nos queda elegir $4$ dígitos. La única manera posible es elegir a $2$ de $A$ e $2$ de $B$. La cantidad de maneras de hacer esto es ${3\choose 2}^2=9$ que en conjunto da $5\times 9$ formas en que puede ser permutada y de manera consecutiva $5\times 9\times 5!=5400$ formas posibles.
iii) Deje $2$ dígitos de $A$ en $n$. La cantidad de formas de elegir el dígito es ${5\choose 2}=10$. Nos quedamos con $3$ dígitos. Todos ellos son de $A$ o todos ellos son de $B$. Eso es $2$ formas posibles y todos juntos $20$ formas posibles que nos permutar para obtener el $20\times 5!=2400$ formas posibles.
iv) Deje $3$ dígitos de $A$ en $n$. La cantidad de formas de elegir los dígitos de $A$ es ${5\choose 3}=10$. Para optar $2$ dígitos. Debemos tomar exactamente uno de $B$ y exactamente uno de $C$. La cantidad de maneras de hacer esto es ${3\choose 1}^2=9$. En resumen $9\times 10$ formas posibles que nos permutar para obtener $90\cdot5!=10800$ formas posibles
v) En el último caso, si todos los cuatro dígitos de $A$ están presentes, no hay ninguna manera de cómo hacer el número divisible por $3$.
Sumando todo esto da $5400+2400+10800=18600$ , que es menos de lo que mi algoritmo dado. También tenemos que restar esos que comienzan con $0$. ¿Alguien puede descubrir el error? (Si no hago?)
