Tratando de arreglar las sumas de manera limpia

Question

Estoy tratando de escribir las siguientes sumatorias de la forma más compacta posible utilizando la suma y la enumeración:

$$\frac{y_1}{1+y_2+y_3+y_4+y_5}+\frac{y_2}{1+y_3+y_4+y_5}+\frac{y_3}{1+y_4+y_5}+\frac{y_4}{1+y_5} \leq 1$$ $$\frac{y_1+y_2}{1+y_3+y_4+y_5}+\frac{y_2+y_3}{1+y_4+y_5}+\frac{y_3+y_4}{1+y_5} \leq 1$$ $$\frac{y_1+y_2+y_3}{1+y_4+y_5}+\frac{y_2+y_3+y_4}{1+y_5}\leq 1$$ $$\frac {y_1+y_2+y_3+y_4}{1+y_5}\leq 1$$

Me escribió lo siguiente:

$$\sum_{k=1}^4 \frac {y_k}{1+y_{k+1}+...+y_5} \leq 1$$ $$\sum_{k=1}^3 \frac {y_k+y_{k+1}}{1+y_{k+2}+...+y_5} \leq 1$$ $$ \sum_{k=1}^2 \frac {y_k+y_{k+1}+y_{k+2}}{1+y_{k+3}+...+y_5} \leq 1$$ $$ \frac {\sum_{k=1}^4 y_k}{1+y_5} \leq 1$$

Es allí cualquier enumeración de combinar la $4$ sumatorias?

Answer 1

Si no me equivoco, el siguiente debe ser una expresión equivalente:

<span class="math-container">$$\forall i \in {1,2,3,4}: \sum{k=1}^{5-i} \frac{\sum{j=k}^{k+i-1} yj}{1+\sum{j=k+i}^{5} y_j} \leq 1.$$</span>

Es obviamente cierto menos clara e intuitiva que la original, aunque.

Answer 2

Lo que usted gane compacidad pierdes (masivamente) en comprehsion, pero:

<span class="math-container">$\frac {y_1}{1 + y_2 + ... + y5} + .... = \sum{k=1}^4 \frac {yk}{1+\sum{j=k+1}^5 y_j}\le 1$</span>

Y <span class="math-container">$\frac{y_1+y_2}{1+y_3+y_4+y_5}+\frac{y_2+y_3}{1+y_4+y_5}+\frac{y_3+y_4}{1+y5} = \sum{k=1}^{5-1}\frac {yk + y{k+1}}{1+\sum_{j=k+2}^5 y_j}\le$</span>

Y entonces te

<span class="math-container">$[\sum{k=1}^{5-m}\frac {\sum{i=k}^{k+m-1} yi}{1+\sum{j=k+m}^5 yj} \le 1]|{m=1}^4$</span>

Pero realmente, si una era un lector y me encontré con que... Golpearte.