¿Es esta propiedad geométrica (conjetural) intrínsecamente relacionada con la distribución de números primos?

Question

Dada la serie de los números primos mayores que 9, se puede organizar en cuatro filas, según su último dígito ($1,3,7$ o $9$).

La columna en la que se muestran es el de diez a la que pertenecen, como se ilustra en el siguiente esquema.

Los puntos azules representan los números primos, mientras que los puntos rojos representan los enteros que se encuentran en las filas $1,3,7,9$ pero que no primos.

Por ejemplo, en correspondencia con el segundo de los diez ($x$-eje) nos encontramos con dos puntos rojos en las filas $1$ e $7$ ($y$-eje), debido a que $20+1=21$ e $20+7=27$ no son números primos.

Me han conjeturado que dados cualesquiera dos puntos rojos, siempre es posible encontrar una elipse con focos en estos dos puntos y que pasa a través de al menos un punto azul (un número primo) y al menos otro punto rojo (un número compuesto).

Aquí os muestro algunos ejemplos:

Del mismo modo, puede ser conjeturado que dados cualesquiera dos puntos azules, siempre es posible encontrar una elipse con focos en estos puntos y pasa a través de al menos uno de los principales y al menos un compuesto. Aquí, a continuación, algunos ejemplos:

Mi pregunta es:

Si es cierto, es esta propiedad relacionada con la distribución de los números primos? O es sólo debido a la particular sistema de referencia (celosía) he utilizado para que los represente?

Gracias por tus sugerencias y comentarios, y lo siento si todo el problema puede ser ingenuo.

Answer 1

Creo que esta propiedad es true, pero no tiene nada que ver con puntos suspensivos. Dados dos puntos cualesquiera $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$ (con $y_A\ne y_B$) en la cuadrícula, y su punto medio $M$, hay, al menos, $x_A+x_B-3$ parejas de puntos, en la cuadrícula, simétrica con respecto al $M$: acaba de tomar cualquier punto de $(x,y_A)$ en la parrilla con la misma coordenada como $A$ (con $x\ne x_A$ e $0<x<x_A+x_B$), y su simétrica $(x_A+x_B-x,y_B)$.

Si $y_A= y_B$ existen, en su lugar, al menos $3(x_A+x_B)-3$ parejas de puntos, simétrica con respecto a la línea $x=(x_A+x_B)/2$.

Cualquier par de puntos pertenece a una elipse de focos $A$, $B$, pero yo no diría que esto es una característica peculiar de elipses. Y por supuesto que es poco probable que todas estas parejas estén formadas por dos puntos del mismo color, al menos lo suficientemente grande como valores de $x_A$ e $x_B$.

Answer 2

En todos los ejemplos expuestos los cuatro puntos (dos focos y los otros dos puntos) forma un paralelogramo con una de las dos diagonales en los dos focos. También en un paralelogramo siempre puedes formar dos elipses con focos en cada diagonal y pasar a través de los otros dos puntos.

Así, es suficiente para demostrar que no son paralelogramos con las propiedades mencionadas para demostrar que no son elipses. (Lo contrario no es cierto, no podría ser elipses, no los ejemplos, que cumplen con estas propiedades y cuyos cuatro puntos no forman un paralelogramo).

Para un determinado diagonal, puede buscar un punto de que es un número primo (azul), y ver si hay "contrapunto" (no salir de la zona) y que es de color rojo (número compuesto), y con la que tienes otro ejemplo.

Llamando a los cuatro puntos: a, B, C, D. Y siendo a y C los puntos de la diagonal del paralelogramo que son a su vez los focos de la elipse. Dado el punto C, punto D será:

$$ D = A + C - B $$

Por ejemplo:

$$ D = (3,3) + (8,7) - (7,1) = (4,9) $$

Que es el segundo de la elipse de la primera figura.

Además, puede ser visto como:

$$ 33 + 87 - 71 = 49 $$