Un ejemplo de un programa en el lenguaje de los esquemas de

Question

Algo relacionado con esta pregunta, pero casi infinitamente más básicos.

Una Confesión

Yo soy, debería clasificación resultará esencial, un diferencial de aparejador y un topologist por inclinación y por la formación: como estudiante he rechazado cualquier anillo que no $\mathbb{Z}_n$ o un anillo de operadores diferenciales y se mantiene cerca de la diferenciable y la no-singular. No importa entonces que estos exóticos 'esquemas' y sus emocionantes proyectiva morfismos fueron más allá de mí, y que en cierta medida no parece importar ahora; pero cada vez más mi viejo uni amigos, compañeros de MOers (y, hey, incluso en matemáticas.pila de intercambiadores) están hablando de nada más, pero los esquemas.

En los últimos meses (después de la espantada de abrir los ojos MO pregunta) me he encontrado cada vez más susceptibles a los anillos, y soy menos intimidado por mi falta de entendimiento que antes. A pesar de esto, sin embargo, me quedo completamente en la oscuridad acerca de los esquemas.

Donde Me Siento

Yo no soy un completo novato. He completado un curso de licenciatura en la geometría algebraica: ilumina, interesante, pero todos los clásicos más allá de la creencia. He leído y re-leído la página de la wikipedia sobre los esquemas varias veces en todos los componentes necesarios: el espectro de un anillo, un localmente anillado espacio et al, pero no tienen idea de cómo estos se combinan para hacer que los objetos se me jugueteó con más de un semestre de hace dos años.

Me han hecho numerosas conjeturas sobre generalizada nulstellensatze y estructura de las poleas, pero para explicar cualquier probablemente sería para complicar aún más unneccessarily. Estoy consciente de que hay probablemente brillante textos que hacer exactamente lo que yo estoy pidiendo, pero actualmente no estoy afiliado a una universidad y mi biblioteca actual requeriría el orden en que por el tipo de toe-inmersión ejercicio pretendo aquí sería una exageración. Así que me pregunto:

¿Alguien puede darme un ejemplo canónico de un esquema, señalando a lo largo de la manera en la topología y los espectros asociados a cada conjunto abierto. Quizás más profundo, con la venia: lo que estoy buscando es una especie de "esquema de la jerga de safari".

Soy consciente de que esto es tonto, y tal vez pidiendo una cita textual de la página 2 de cualquier decente geometría algebraica de texto, pero yo estaría muy agradecido. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Voy a considerar aquí todo sobre el campo $\mathbb C$. Usted puede reemplazar a $\mathbb C$ por cualquier algebraicamente cerrado de campo (o incluso cualquier campo), esencialmente sin cambios, pero el trabajo de más de $\mathbb C$ es el punto de partida natural, y tiene la ventaja de que uno puede conectarse con el tipo de geometría/topololgy con el que esté más familiarizado.

Dado un clásico variedad $V$, se puede considerar que todos los cerrados de subvariedades. Estos satisfacen los axiomas de una topología, llama la topología de Zariski. Por definición, vamos a decir que nuestro la variedad es una variedad afín, por lo que es de ser cortado por polinomios en $\mathbb C^n$, para algunas de las $n$. La topología usual en $\mathbb C^n$ induce una topología en $V$, que tiene muchos más bloques abiertos de la topología de Zariski (a menos $V$ $0$- dimensional). El punto es que para ser cerrado en la topología de Zariski, usted tiene que realmente ser el cero locus de algún polinomio, es decir, otra variedad, por lo que es difícil de Zariski cerrado, y, por tanto, del mismo modo difícil ser abierto Zariski. (Para que quede absolutamente claro, veamos un ejemplo: la recta real es cerrado en $\mathbb C$, pero no es Zariski cerrado; no hay ningún polinomio en una variable sobre la $\mathbb C$ que se desvanece precisamente en los puntos de la recta real; de hecho, un polinomio cualquiera se desvanece en sólo un número finito de puntos, o de lo contrario es idéntica a cero, y así se desvanece en todas partes.)

Usted también tiene la noción de la función racional en la variedad (basta pensar en la restricción de un cociente de polinomios en $n$-variables a $V$, de tal manera que el denominador no se anula de forma idéntica en $V$); una función racional se llama regular en un punto de $P$ de la variedad si no tiene ninguna singularidad en ese punto. De ser una singularidad es un Zariski estado cerrado (singularidades de ocurrir en el denominador de la función racional, que es un polinomio, se desvanecen), por lo que de ser regular en un punto es un abierto Zariski condición. Si fijamos un abierto Zariski establecer de antemano, se puede mirar el anillo de todas las funciones racionales que son regulares en que conjunto abierto.

Estos forman una gavilla en $V$ (con su topología de Zariski). Es mucho "más pequeño" que las poleas que se usan para, como buen o funciones continuas. No sólo hay muchos menos abierto a los conjuntos de pensar (sólo el abierto Zariski), pero en un determinado conjunto abierto, no va a ser increíblemente más continuo o suave funciones de funciones regulares, porque siendo el cociente de polinomios es muy restrictiva en la condición de una función.

Si nos fijamos en el global de las secciones de este ligamento, es decir, las funciones que son regulares en el conjunto de la $V$, nosotros, en particular, conseguir un anillo que se llama afín anillo de $V$. Si acabo de mano de este anillo (como $\mathbb C$-álgebra), resulta que usted puede recuperar $V$, es decir, $V$ es el máximo de la gama de este anillo (es decir, el punto de $V$ natural bijection con máxima ideales de $V$). El mapa es una manera fácil: dado un punto, podemos mirar todas las funciones regulares en $V$ que se desvanecen en el punto; esto le da una máxima ideal en el anillo de todos los funciones regulares. Que este es un bijection es más difícil, y es esencialmente equivalente a la Nullstellensatz.

Para ver el papel de todo el espectro del anillo (es decir, el primer ideales así como la máxima ideales) uno tiene que decir y pensar más, pero este es, probablemente, suficiente por ahora.

Para obtener más información, debe de google "afín anillo de una variedad" o expresiones similares, y usted debe encontrar fuentes de información, en una gran variedad de niveles. Una vez que usted entiende esto conexión básica, no tiene sentido mirar los esquemas en más detalle.

Answer 2

Usted debe leer a David Eisenbud y Joe Harris La Geometría de los Esquemas.

Realmente. :)

Answer 3

$\text{Spec } \mathbb{C}[x]$ es probablemente tan básico como es. Como un conjunto, esta es la colección de máximas ideales $(x - a), a \in \mathbb{C}$ junto con el primer ideal $(0)$. Como un espacio topológico, esto es $\mathbb{C}$ en el cofinite topología (los conjuntos cerrados son finitos) junto con un punto de $(0)$ cuyo cierre es la totalidad del espacio (y que está en cada conjunto abierto excepto el conjunto vacío). El anillo local en $(x - a)$ es el sub-anillo de $\mathbb{C}(x)$ de las funciones racionales que son definidas a $a$, y el anillo local en $(0)$ es de $\mathbb{C}(x)$; de forma más general, la sección de la estructura de la gavilla más de un Zariski-conjunto abierto $U$ es el sub-anillo de $\mathbb{C}(x)$ de las funciones racionales que se definen en cada una de las $a \in U$.

Answer 4

Bueno, Qiaochu listas de los afín a la línea, así que me voy a hacer el proyectiva de la línea. (Aquí todo es más de los números complejos.)

La línea proyectiva $P^1$, o, equivalentemente, la esfera de Riemann. Este es el espacio de todas las líneas a través de la procedencia en $\mathbb{C}^2$. Recordemos que la esfera de Riemann puede ser obtenida mediante el encolado de las dos copias del plano complejo. Es decir, si $S^2 = \mathbb{C} \cup { \infty }$, a continuación, una copia es sólo el subconjunto $\mathbb{C}$. La otra copia es $\mathbb{C}^* \cup {\infty}$, que se identifica con los números complejos tomando recíprocos.

Obviamente, esto es una superficie de Riemann. De hecho, los mapas de la definición de este "pegar" se puede comprobar a ser algebraicas (sólo son recíprocos), por lo que es de hecho un esquema, y un juguete ejemplo que no es afín.

¿Qué es una función regular, a través de un subconjunto abierto de $S^2$? Así, se define un holomorphic función sobre un subconjunto abierto de $S^2$ diciendo que el pull-back a cada gráfico se holomorphic. Ahora aquí nos dicen que el pull-back a cada gráfico es regular en el sentido de ser una función racional.

Curiosamente, sólo hay constante de las funciones que son comunes en todos los de $P^1$. De hecho, como una función (que se considera como un mapa de $P^1 \to \mathbb{C}$) sería una holomorphic mapa de una superficie de Riemann compacta, por lo tanto constante. He aquí un argumento algebraico. Considerar el conjunto abierto $\mathbb{C}^*$. En este (afín) conjunto abierto, se puede comprobar que la única regular las funciones son polinomios en $z $ $1/z$ (o de lo contrario el denominador se fraguaría). Sin embargo, si la función es regular en todas partes, $1/z$ no puede ocurrir (que se fraguaría en el origen) y $z$ no puede ocurrir (que no está definido en ${\infty}$).

La línea proyectiva es importante porque es compacto en la topología compleja. La versión algebraica de esto es que es correcto sobre $\mathbb{C}$. En particular, cualquier mapa fuera de ella en un complejo de la variedad es una emph cerrado mapa. Sin embargo, con afín variedades, usted no tiene esta propiedad cerrada ya. Por ejemplo, la hipérbola $xy=1$ en el plano afín (claramente un conjunto cerrado en la topología de Zariski) proyectos para la no-abra el complemento de el origen de las $A^1$ través $(x,y) \to x$. Esto no sucede para el proyectiva de la línea. ("Correcto" es una expresión algebraica analógico de "pacto", así como "separados" es un análogo de la "Hausdorff.")