¿Por qué este enfoque en la resolución de $x^2+x+1=0$ ¿Válido?

Question

Existe esta cuestión en la que hay que encontrar las verdaderas raíces de la ecuación cuadrática:

$x^2 + x + 1 = 0$

Para abordar este problema, se puede ver que $x \neq 0$ porque:

$(0)^2 + (0) + 1 = 0$

$1 \neq 0$

Por lo tanto, es legal dividir cada término por $x$ :

$x + 1 + \frac {1}{x} = 0$

$x = -1 - \frac {1}{x}$

Ahora, sustituya $x$ en la ecuación original y resolver:

$x^2 + (-1- \frac {1}{x}) + 1 = 0$

$x^2- \frac {1}{x} = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

para conseguir $x = 1$ . Claramente esta no es la respuesta correcta. Pero, ¿por qué? Gracias.

Answer 1

Para un ángulo diferente, sustituyendo una variable de la misma ecuación es válido, pero no reversible. Hacer tal sustitución puede introducir soluciones extrañas que no necesariamente satisfacen la ecuación original.

Un ejemplo trivial de este caso es la ecuación $\,x=1\,$ . Podemos sustituir $\,1 \mapsto x\,$ en el RHS y terminar con $\,x=x\,$ . Por supuesto que $\,x=1 \implies x=x\,$ pero lo contrario no es cierto.

En el caso de OP, la ecuación original es cuadrática en $\,x\,$ que tiene $2$ raíces en $ \Bbb C\,$ mientras que la ecuación derivada es una cúbica que tiene $3$ raíces en $ \Bbb C\,$ . Está claro que los dos conjuntos de soluciones no pueden ser idénticos, y de hecho el cúbico tiene la raíz externa $\,x=1\,$ como ya se ha señalado, que no satisface la cuadrática original.

Answer 2

Sí que se puede sustituir. En primer lugar, sin embargo, tenga en cuenta que $1$ es no una solución para $x = -1 - 1/x$ . Por lo tanto, al hacer esa sustitución, estamos excluyendo $x = 1$ como solución a nuestra ecuación. En cierto sentido, estamos buscando una solución de $x^2 +x + 1 = 0$ que también es una solución para $x = -1 - 1/x$ .

Esto es lo que obtenemos sustituyendo:

$$ x^2 + x + 1 = 0$$ $$ x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0$$ $$ x^2 - 1/x = 0 $$ $$ x^2 = 1/x$$ $$ x^3 = 1 $$

Hay tres soluciones complejas a esa ecuación. Tenemos que excluir la "falsa solución" $x =1$ porque la sustitución $x = -1 - 1/x$ ya prevenido $x$ de ser $1$ . Cualquiera de las otras dos soluciones de números complejos para $x^3 = 1$ son soluciones de la ecuación original $x^2 + x + 1$ .

Esto también puede verse porque $x^3 -1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ . Así que hay tres soluciones complejas para $x^3 - 1 = 0$ y eliminando el $x-1$ dejamos dos soluciones de números complejos a $x^2 + x + 1 = 0$ .

Answer 3

La descripción de más alto nivel de su trabajo es:

• Supongamos que $x$ es una solución de la ecuación original.
• Entonces $x$ tiene que ser $1$
• $1$ no es una solución de la ecuación original.

Y por lo tanto concluimos que la suposición es falsa: es decir,

• Por lo tanto, la ecuación original no tiene soluciones.

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Por cierto, si permites números complejos entonces $x^3 = 1$ tiene tres soluciones, y tendrías que modificar tu trabajo para

• Supongamos que $x$ es una solución de la ecuación original.
• Entonces $x$ tiene que ser $1$ o bien $-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$ (porque son las tres raíces cúbicas de $1$ )
• $1$ no es una solución de la ecuación original.
• $-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$ son soluciones de la ecuación original

y por lo tanto

• Las soluciones de la ecuación son $-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$

Answer 4

Tu error está en la última línea, donde pasas de $x^3 = 1$ a $x = 1$ . En realidad hay tres soluciones $x^3 = 1$ . Son los siguientes

$$\begin{align} x_1 &= 1, & \text{or} \\ x_2 &= -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2} i, & \text{or} \\ x_3 &= -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3}{2} i \end{align}$$

Sólo soluciones $x_2$ et $x_3$ resolver el problema original, por lo que la solución $x_1$ puede omitirse. Introducir soluciones extrañas es un riesgo que se corre al realizar una sustitución de este tipo.

Esto se debe al hecho de que su sustitución está cambiando el grado de su ecuación de grado 2 a grado 3, por lo que se debe introducir una solución adicional (suponiendo que no hay soluciones repetidas).

Answer 5

Las transformaciones que apliques a una ecuación pueden introducir soluciones extrañas.

Tomando un ejemplo extremo,

$$x=0\implies 0=0$$ que cumplen todos los $x$ ¡!

Así que puedes aplicar transformaciones, pero validar las soluciones utilizando la ecuación original.

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En su ejemplo, establece

$$x^2+x+1=0\implies x^3-1=0.$$

Pero como $$x^3-1=0=(x-1)(x^2+x+1),$$ no pasa nada si ignoras el primer factor.