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¿Por qué este enfoque en la resolución de x2+x+1=0 ¿Válido?

Existe esta cuestión en la que hay que encontrar las verdaderas raíces de la ecuación cuadrática:

x2+x+1=0

Para abordar este problema, se puede ver que x0 porque:

(0)2+(0)+1=0

10

Por lo tanto, es legal dividir cada término por x :

x+1+1x=0

x=11x

Ahora, sustituya x en la ecuación original y resolver:

x2+(11x)+1=0

x21x=0

x3=1

x=1

para conseguir x=1 . Claramente esta no es la respuesta correcta. Pero, ¿por qué? Gracias.

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¿Puede describir cómo llegó a x=1 ¿más exactamente?

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@Jakobian Vale, lo he editado.

3 votos

El punto clave, como en mi respuesta, es que hay tres soluciones para x3=1 .

18voto

dxiv Puntos 1639

Para un ángulo diferente, sustituyendo una variable de la misma ecuación es válido, pero no reversible. Hacer tal sustitución puede introducir soluciones extrañas que no necesariamente satisfacen la ecuación original.

Un ejemplo trivial de este caso es la ecuación x=1 . Podemos sustituir 1x en el RHS y terminar con x=x . Por supuesto que x=1x=x pero lo contrario no es cierto.

En el caso de OP, la ecuación original es cuadrática en x que tiene 2 raíces en C mientras que la ecuación derivada es una cúbica que tiene 3 raíces en C . Está claro que los dos conjuntos de soluciones no pueden ser idénticos, y de hecho el cúbico tiene la raíz externa x=1 como ya se ha señalado, que no satisface la cuadrática original.

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@Strikers I proved there is a real root No, no lo hiciste, porque los pasos no son reversibles. Lo que has demostrado es x2+x+1=0x3=1x=1 (en reales). Eso es correcto, pero son implicaciones unidireccionales, que no se pueden "invertir" para demostrar que x=1x2+x+1=0 es decir, demostrar que x=1 es una raíz. Y obviamente x=1 no es una raíz a x2+x+1=0 por lo que la ecuación original no tiene raíces reales.

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Vale, eso tiene sentido, gracias. Sin embargo, usted está diciendo que la ecuación original no tiene raíces reales sólo por el hecho de que x=1 ¿no es posible? ¿No hay otras posibilidades, como sustituir x de diferentes maneras, es decir, en x2 de la ecuación original, ¿entonces puedes demostrar que la ecuación original no tiene raíces reales?

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@Strikers Una contradicción basta para refutar una afirmación. Diferentes sustituciones podrían acabar en contradicciones diferentes, o incluso no ser concluyentes. Pero lo que tienes ya es suficiente para demostrar que no hay raíces reales, ya que partiendo de la suposición de que existe una raíz real xR lo siguiente también puede considerarse una prueba por contradicción: x2+x+1=0 x3=1 x=1 x2+x+1=3 0=3 .

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JoshL Puntos 290

Sí que se puede sustituir. En primer lugar, sin embargo, tenga en cuenta que 1 es no una solución para x=11/x . Por lo tanto, al hacer esa sustitución, estamos excluyendo x=1 como solución a nuestra ecuación. En cierto sentido, estamos buscando una solución de x2+x+1=0 que también es una solución para x=11/x .

Esto es lo que obtenemos sustituyendo:

x2+x+1=0 x2+(11/x)+1=0 x21/x=0 x2=1/x x3=1

Hay tres soluciones complejas a esa ecuación. Tenemos que excluir la "falsa solución" x=1 porque la sustitución x=11/x ya prevenido x de ser 1 . Cualquiera de las otras dos soluciones de números complejos para x3=1 son soluciones de la ecuación original x2+x+1 .

Esto también puede verse porque x31=(x1)(x2+x+1) . Así que hay tres soluciones complejas para x31=0 y eliminando el x1 dejamos dos soluciones de números complejos a x2+x+1=0 .

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Hola, gracias por su respuesta. Todavía no he aprendido sobre los números complejos y estoy confundido en cuanto a por qué x3=1 a x=1 no es válida. Además, ¿por qué sólo porque x=1 no satisface la ecuación anterior tienen que importar si la ecuación original arroja x=1 . Gracias.

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En general, una vez que se aprenden los números complejos, cualquier ecuación de la forma xn=1 tiene n diferentes raíces de números complejos. Por ejemplo x3=1 tiene tres raíces de números complejos diferentes, una de las cuales es x=1 y los otros dos no son números reales.

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He aquí una analogía diferente. Si empiezas con x=1 y elevando al cuadrado ambos lados se obtiene x2=1 . Esto tiene dos raíces, 1 et 1 a pesar de que la ecuación original sólo tenía una raíz. Esto se debe a que elevar ambos lados al cuadrado no es una operación reversible. En tu caso, sustituyendo x con 11/x tampoco es una operación reversible. Por tanto, aunque la ecuación final tenga x=1 como solución, el original no.

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Hurkyl Puntos 57397

La descripción de más alto nivel de su trabajo es:

  • Supongamos que x es una solución de la ecuación original.
  • Entonces x tiene que ser 1
  • 1 no es una solución de la ecuación original.

Y por lo tanto concluimos que la suposición es falsa: es decir,

  • Por lo tanto, la ecuación original no tiene soluciones.

Por cierto, si permites números complejos entonces x3=1 tiene tres soluciones, y tendrías que modificar tu trabajo para

  • Supongamos que x es una solución de la ecuación original.
  • Entonces x tiene que ser 1 o bien 12±32i (porque son las tres raíces cúbicas de 1 )
  • 1 no es una solución de la ecuación original.
  • 12±32i son soluciones de la ecuación original

y por lo tanto

  • Las soluciones de la ecuación son 12±32i

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Hola. He aprendido acerca de los números complejos y confundido a por qué usted mencionó que "asumió x es una solución a la ecuación original". Utilicé un razonamiento matemático claro para llegar a la respuesta final. Gracias.

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@Strikers Asumiste que x es una solución porque literalmente, cuando se escribe x^2 + x + 1 = 0", you're saying that x is a value that satisfies that very equation. And later, when you divide by x , you're implicitly assuming that such a x exists in the first place (because if the x$ no existe, ¿cómo se puede dividir una ecuación por ella?).

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@PedroA Vale eso tiene sentido, gracias.

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Brady Isom Puntos 420

Tu error está en la última línea, donde pasas de x^3 = 1 a x = 1 . En realidad hay tres soluciones x^3 = 1 . Son los siguientes

\begin{align} x_1 &= 1, & \text{or} \\ x_2 &= -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2} i, & \text{or} \\ x_3 &= -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3}{2} i \end{align}

Sólo soluciones x_2 et x_3 resolver el problema original, por lo que la solución x_1 puede omitirse. Introducir soluciones extrañas es un riesgo que se corre al realizar una sustitución de este tipo.

Esto se debe al hecho de que su sustitución está cambiando el grado de su ecuación de grado 2 a grado 3, por lo que se debe introducir una solución adicional (suponiendo que no hay soluciones repetidas).

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Hola. ¿Cuál es el i en su solución? También x^3 = 1 a x = 1 No veo por qué no está permitido. Gracias.

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Para responder a su primera pregunta: i representa la unidad imaginaria, que tiene la propiedad i^2 = -1 . Para responder a su segunda pregunta: x = 1 es una solución permitida de x^3 = 1 (por eso lo he incluido en la lista) pero no es una solución permitida para su problema original x^2 + x + 1 = 0 (por eso debe rechazarlo).

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Yves Daoust Puntos 30126

Las transformaciones que apliques a una ecuación pueden introducir soluciones extrañas.

Tomando un ejemplo extremo,

x=0\implies 0=0 que cumplen todos los x ¡!

Así que puedes aplicar transformaciones, pero validar las soluciones utilizando la ecuación original.


En su ejemplo, establece

x^2+x+1=0\implies x^3-1=0.

Pero como x^3-1=0=(x-1)(x^2+x+1), no pasa nada si ignoras el primer factor.

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