¿Por qué no es un universo infinito, plano y sin expansión lleno de una distribución uniforme de materia una solución a la ecuación de Einstein?

Question

En Newtoniana de la gravedad, un volumen infinito lleno de una distribución uniforme de la masa sería, en perfecto equilibrio. En cada punto, las fuerzas gravitacionales aportado por las masas en una dirección sería exactamente compensado por aquellos en la dirección opuesta.

Pero cuando Einstein trató de aplicar la Relatividad General para que sea posible la cosmología, se consideró necesario incluir la constante cosmológica con el fin de obtener un universo estático.

En términos cualitativos, a mí me parece que la gravitacional insiste en que las masas se impondría en el espacio-tiempo, todas deben cancelar, y de la misma manera, que el resultado de la plana el espacio-tiempo debe tener ningún efecto en el movimiento de las masas.

Sin embargo, las matemáticas de la situación está más allá de mis habilidades actuales, así que me estoy preguntando cómo se produce la condición de no equilibrio?

(Me doy cuenta de que tal equilibrio de la solución podría no ser estable, y que hay muchas otras muy buenas razones para creer en un universo en expansión, así que no estoy tratando de promover teorías alternativas. Tengo curiosidad acerca de este punto en particular. )

Answer 1

Este es un lugar sutil pregunta, lo que confunde aún Newton. Es muy tentador pensar que un universo Newtoniano perfectamente uniforme de la densidad de masa es estable debido a la fuerza gravitacional cancela todas partes por la simetría. Esto es incorrecto.

He aquí un análogo pregunta: supongamos que una función de $f$obedece $$f''(x) = 1$$ y queremos resolver para $f(x)$. Desde cada punto de la recta real es el mismo que cualquier otro punto, se podría pensar que por la simetría, $$f(x) = \text{constant}.$$ Pero esto es completamente erróneo, ya que la segunda derivada de una constante es cero. Y dando un paso atrás, la cuestión no tiene ningún sentido, porque no hay suficiente información. Para resolver un general de la ecuación diferencial, se necesitan las condiciones de contorno.

Para la concreción, echemos $f'(\infty) = -f'(-\infty)$. Esto por sí solo es suficiente para especificar $$f(x) = \frac{x^2}{2} + \text{constant}.$$ Pero ahora la simetría traslacional se ha roto: no cada punto equivale más, porque tenemos un mínimo en $x = 0$. Esto es inevitable. Usted no puede resolver la ecuación diferencial sin condiciones de contorno, y la elección de las condiciones de contorno rompe la simetría.

De manera similar, en Newton del infinito universo que hemos $$\nabla^2 \phi = \rho$$ donde $\rho$ es la constante de la densidad de la masa y $\phi$ es el potencial gravitacional, correspondiente a $f$ en el ejemplo anterior. Justo como en ese ejemplo, que "obviamente" tiene por simetría $$\phi(x) = \text{constant}$$ lo que indica que la fuerza se desvanece en todas partes. Pero esto es incorrecto. Sin condiciones de contorno, la evolución posterior no está definido; es como pedirle a resolver para $x$ da sólo que $x$ es incluso. Con cualquier conjunto de condiciones de contorno, usted tendrá un punto hacia el cual todo se derrumba. Así que la respuesta a tu pregunta es que tanto el Newtoniana y relativista universos inmediatamente comienzan a colapsar; la simetría argumento no funciona en cualquiera de los dos, así que no hay nada extraño de explicar.

A menudo suponemos que el potencial gravitacional va a cero en el infinito (en Newtoniana de la gravedad), o que la métrica es asintóticamente plana (en la relatividad). Pero esta condición de contorno no funciona cuando la distribución de la masa se extiende hasta el infinito, lo que conduce a la trampa aquí. El mismo punto se sostiene en la electrostática. Al final, tanto el Newtoniana y relativista universos puede ser impedido de colapso con una constante cosmológica, aunque ambos siguen siendo inestable en contra de cualquier perturbación. En el caso Newtoniano, esto es simplemente el trivial declaración de que $\nabla^2 \phi = \rho - \Lambda$ constante de soluciones para $\phi$ cuando $\rho = \Lambda$.

Answer 2

La ecuación que rige la curvatura del espacio-tiempo de la relatividad general es $$ R_{\mu\nu} - \frac12Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} $$ O, realmente, es $16$ ecuaciones en uno: $\mu$ e $\nu$ tanto puede tomar los valores de $0$ a $3$, que representan los cuatro componentes de cualquier sistema de coordenadas, y para cada opción de obtener una nueva ecuación (con la pequeña salvedad de que es simétrica en $\mu$ e $\nu$, así que en realidad, es sólo $10$ distintas ecuaciones).

Los símbolos $R_{\mu\nu}$, $R$, $g_{\mu\nu}$ e $T_{\mu\nu}$ son los llamados tensores, que por el momento se puede considerar como real-funciones con valores en el espacio-tiempo. (Los valores reales que se obtiene será dependiente de su elección de sistema de coordenadas, pero si se fijan un sistema de coordenadas de la región están interesados en que se hacen sólo funciones. $R$ es una sola función, mientras que los tres restantes, de nuevo, son colecciones de $16$ funciones: una para cada una de las $\mu, \nu$ par.)

El lado izquierdo representa la curvatura del espacio-tiempo. En el plano espacio-tiempo hemos $R_{\mu\nu} = 0$ cualquier $\mu, \nu$, y también obtenemos $R = 0$, de modo que el lado izquierdo se $0$.

El lado derecho es una de las grandes constante multiplicada por $T_{\mu\nu}$, que representa la energía en cada punto en el espacio. En un "sensible" sistema de coordenadas (donde la $0$-componente representa el tiempo, y los tres restantes coordenadas representan el espacio), $T_{00}$ va a representar la densidad de energía (incluyendo la densidad de la masa; el resto de los componentes de $T_{\mu\nu}$ representan cosas como la presión y el impulso de la densidad). Si no es uniforme distinto de cero en masa en todas partes, $T_{00}$ va a ser distinto de cero. Eso significa que $R_{00} -\frac12Rg_{00}$ también será distinto de cero, lo que significa que no tenemos plano espacio-tiempo como $R_{00}$ o $R$ debe ser distinto de cero.

Con el fin de recuperar el espacio-tiempo plano, en este caso, y permitir que tanto los $R_{\mu\nu}$ e $R$ a ser cero, es necesario agregar un tercer término a la izquierda: la constante cosmológica $\Lambda$, lo que nos da $$ R_{\mu\nu} - \frac12Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} $$

Answer 3

Buena pregunta!

He aquí una posible declaración de la lógica en el caso newtoniano. (1) En la mecánica newtoniana, suponemos que los sistemas inerciales de referencia existen (este es uno de los más populares manera moderna de la reformulación de la primera ley de Newton), asumimos que tales marcos son globales, y asumimos que siempre podemos encontrar un marco mediante la observación de una prueba de partículas que no actúa ninguna fuerza. (2) En el newtoniano homogénea de la cosmología, se podría suponer que la fuerza sobre un elegido de la prueba de la partícula P se puede encontrar por algunos limitar el proceso, y que el resultado es único. (Esto es, básicamente, una falsa suposición, pero no creo que termina siendo el tema aquí). (3) Dado que el resultado es único, debe ser cero por la simetría. (4) Por los supuestos 1 y 2, P define un marco inercial, y por la hipótesis 1, que el marco puede ampliarse para abarcar el universo entero. Por lo tanto, todas las otras partículas en el universo debe tener la aceleración de cero en relación a P.

En la relatividad general, la hipótesis 1 se produce un error. Prueba de partículas P y Q pueden ser inercial (es decir, no nongravitational fuerzas actúan sobre ellos), pero puede ser falso que no son acelerado el uno con relación al otro. Por ejemplo, podemos hacer una FRW cosmología en la que, en algún momento inicial, $\dot{a}=0$, pero entonces tendrá que $\ddot{a}\ne0$ (a fin de satisfacer las ecuaciones de campo de Einstein para un uniforme de polvo). (En esta situación, las ecuaciones de campo de Einstein puede ser reducido a las ecuaciones de Friedmann, uno de los cuales es $\ddot{a}/a=-(4\pi/3)\rho$.)

Esto muestra que la de newton argumento (o al menos una versión de la misma) se produce un error. Esto no prueba que no hay ninguna otra semi-newtoniano plausibilidad del argumento que explica por qué un principio del universo estático se derrumba. Sin embargo, no estoy seguro de qué criterios hemos de ser capaces de ponerse de acuerdo sobre lo que constituye una aceptable semi-newtoniano plausibilidad del argumento. Algunas personas han desarrollado estos semi-newtoniano descripciones de la cosmología en la gran longitud, pero a mí me parecen carecen de fundamentos lógicos que permiten contar una correcta argumento de una incorrecta.

Answer 4

Tu pregunta es bastante profunda y las otras respuestas de llegar al corazón de "lo que realmente está pasando", pero yo quería paso atrás y aclarar algo simple que no creo que nadie más tiene explícitamente señalado todavía:

En Newtoniana de la gravedad, un volumen infinito lleno de una distribución uniforme de la masa sería, en perfecto equilibrio. En cada punto, las fuerzas gravitacionales aportado por las masas en una dirección sería exactamente compensado por aquellos en la dirección opuesta.

Como otros han dicho, esto es incorrecto, por más sutil conceptual motivos relacionados a la naturaleza del infinito-el límite de espacio. Pero hay una forma muy simple de ver matemáticamente por qué una masa uniforme de la densidad de $\rho$ no puede producir una idéntica a cero el campo gravitacional ${\bf g} \equiv {\bf 0}$: de Gauss la ley de la gravedad dice que ${\bf \nabla} \cdot {\bf g} = -4\pi G \rho$, o, equivalentemente, $\iint_{\partial V} {\bf g} \cdot d{\bf A} = -4 \pi G\, M_\text{enclosed}$. Es muy claro que ${\bf g} \equiv {\bf 0},\ \rho =$ (distinto de cero constante) no satisfacen dichas ecuaciones.

Answer 5

En términos cualitativos, a mí me parece que la gravitacional insiste en que las masas se impondría en el espacio-tiempo, todas deben cancelar, y de la misma manera, que el resultado de la plana el espacio-tiempo debe tener ningún efecto en el movimiento de las masas.

Creo que hay una sutil malentendido aquí.

En la relatividad general, un universo uniforme lleno de masa (o energía) ver todas las fuerzas que actúan sobre un objeto masivo cancelar, como en el caso Newtoniano. Esto es debido a las simetrías de un uniforme universo.

Sin embargo, esto no significa que el universo es plano.

En la mecánica Newtoniana, las fuerzas de la cancelación de uno a otro implica un movimiento siguiendo una línea recta. A continuación, intuitivamente parece que un objeto podría definitivamente no siguen una línea recta en un espacio curvo tiempo. Pero aquí está la trampa: en el contexto de la relatividad general, el concepto de línea recta no tiene mucho sentido.

Para entender por qué, debemos preguntarnos, ¿qué es una línea recta. En la mecánica Newtoniana es fácil: es el camino seguido por la inercia del objeto, es decir, un objeto sobre el cual podemos definir un marco de referencia tal que este objeto en este marco parece ser estático y afectados por ninguna de las fuerzas.

El principio de equivalencia de la relatividad general, sin embargo, nos dice que tal marco, de hecho, puede ser definido para cualquier caída libre de objetos (object sólo se ven afectados por las fuerzas gravitacionales). Las trayectorias de estos objetos son llamados geodesics y que es lo mejor que se puede hacer para extender el concepto Newtoniano de la línea recta. En otras palabras, en la relatividad general "rectitud" es un efecto de marco de referencia.

Entonces, no muy sorprendentemente, en un universo donde sólo tenemos en cuenta la gravitación, todos los objetos siga geodesics y por lo tanto se están moviendo siguiente "generalizado líneas rectas".

Lo único que indica es que las consideraciones sobre objetos en movimiento no nos dan (a mi conocimiento) cualquier información acerca de la estructura del espacio y el tiempo. Por desgracia, esta respuesta no explica la necesidad de un universo en expansión, acaba de señalar que la de Newton argumento es limitado. La razón es que hasta donde yo sé no hay ningún sencilla e intuitiva explicación de la razón detrás de la expansión del universo.