Cualquier contable grupo libre es integrable en un grupo libre de rango $2$

Question

He encontrado esta la prueba de que el hecho de que cualquier contables de grupo libre es embedable en un grupo libre de rango $2$ (ver la última página, la Proposición 2). Pero no es esto una prueba incorrecta?

En primer lugar, se dice $w=b^{-i_1}a^{\epsilon_1}b^{i_1}\dots$. Shouldnt ser $w=b^{-\epsilon_1 i_1}a^{\epsilon_1}b^{\epsilon_1 i_1}\dots$? O son de alguna manera equivalente.

Segundo, se dice $a^{\epsilon_j}$ $a^{\epsilon_{j+1}}$ están presentes en el literal e lo $w$ no puede contraer a $1$. Pero eso no es cierto...se dice incluso que el $i_j$ igual $i_{j+1}$, y si es así, entonces debemos colapso $a^{\epsilon_j}a^{\epsilon_{j+1}}$$a^{\epsilon_j+\epsilon_{j+1}}$, y tan claramente estos dos literales no están presentes en $w$ en este caso, y así que entonces, ¿cómo sabemos que después de que quizás el colapso que algunos más que no nos llega el exponente de esta a la igualdad de $0$?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$x_{i_1}^{\epsilon_1}=b^{-i_1}a^{\epsilon_1}b^{i_1}$$

De ti no colapsar cuando se va de$a^{\epsilon_j}a^{\epsilon_{j+1}}$$a^{\epsilon_j+\epsilon_{j+1}}$. Tenga en cuenta que hablamos de palabras sobre el alfabeto $\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ y $a^n$ es sólo una notación abreviada para $\underbrace{aaa\ldots a}_n$ si $n>0$ o $\underbrace{a^{-1}a^{-1}a^{-1}\ldots a^{-1}}_{|n|}$ si $n<0$ o de la palabra vacía si $n=0$; $a^n$ es sinónimo de $|n|$ específicas de las letras de nuestro alfabeto. El colapso significaría que el número total de letras de cambios, pero en $a^{\epsilon_1}a^{\epsilon_2}$ tenemos $|\epsilon_1|+|\epsilon_2|$ letras y en $a^{\epsilon_1+\epsilon_2}$ tenemos $|\epsilon_1+\epsilon_2|$ letras. Tenemos $|\epsilon_1+\epsilon_2|=|\epsilon_1|+|\epsilon_2|$ porque $\epsilon_1=\epsilon_2=+1$ o $\epsilon_1=\epsilon_2=-1$. (En otras palabras, ni la $aa$ ni $a^{-1}a^{-1}$ permite que el colapso).