Hace $\lim_{n\to\infty}\underset{n}{\underbrace{\cos(\cos(...\cos x))}}$ ¿Existe?

Question

Posible duplicado: Explicación de $\cos^\infty$

¿Existe el siguiente límite?

$$\lim_{n\to\infty}\underset{n}{\underbrace{\cos(\cos(...\cos x))}}$$

Si es así, encuentra el límite.

Si la respuesta es negativa, explique por qué no existe el límite.

Creo que el límite existe.

Entonces, intenté usar el teorema de Squeeze pero no funcionó.

Answer 1

Se puede tratar como un sistema dinámico con función de transición de estados $f(x) = cos(x)$ . Tras las dos primeras iteraciones $f^{n > 2}(x)$ se pondrá en el intervalo $I = [cos(1), 1]$ . Línea $g(x) = x$ interceptará $cos(x)$ en el intervalo $I$ exactamente una vez así que $cos(x)$ tiene un único punto fijo en $I$ . Debido al punto fijo único y a que $|f'(x)| < 1$ secuencia $f^n(x)$ convergerá a este punto fijo.