$\lim_{(x,y)\to(0,0)} (y-\sin(y))/(x^2+y^2)$

Question

f $ = \begin{cases} 0 & \text{if } (x,y)=(0,0), \[6pt] \dfrac{y-\sin y}{x^2+y^2} & \text{otherwise.} \end{casos} $$

es $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{y-\sin y}{x^2+y^2} = 0 \text{ ?}$

según wolfarm no pero alguien puede mostrarme ¿por qué?

Answer 1

No estoy familiarizado con el análisis funcional, pero esta pregunta parece ser sólo un límite típico.

Vamos a mostrar que el límite es de $0$.

Observe que $$\left|\frac{y-\sin y}{x^2+y^2}\right|=\frac{\left|y-\sin y\right|}{x^2+y^2}\le\frac{\left|y-\sin y\right|}{y^2}$$ so it is enough to prove that $\lim_{y\to 0} \frac {\left|y-\sin y\right |} {y^2}=0$. This can be done with the well known inequality $\frac{t^3}{3.} \ge t-\sin t$ for $t\ge 0$, or $\frac{|t|^3}{3!} \ge | t-\sin t|$ for all $t\in\mathbb{R}$.

Answer 2

He upvoted tong_nor la respuesta. Entonces traté de Wolfram y dijo que el límite no existe, y "valor puede depender de $(x,y)$ camino en el complejo espacio". Entonces pensé que tal vez es porque hicimos todo esto usando sólo números reales y Wolfram está permitiendo a los números complejos. Vamos a probar que:

Supongamos que el "camino" a lo largo de la cual $(x,y)$ enfoques $(0,0)$ $x = iy$ ($2\text{-manifold}$desde $y$ tiene una parte real y una parte imaginaria). En ese "camino", la función no está definida, aunque el numerador no es ningún problema.

Así que si $(x,y) \in \mathbb R^2$ enfoques $(0,0)$, entonces esta fracción enfoques $0,$ pero si $(x,y)\in\mathbb C^2$ enfoques $(0,0)$, la fracción no tiene un límite.

Answer 3

Ahora, Uno de los clásico método para obtener el límite de la función con dos variables en $(0,0)$ es por este hecho que puede suponga $x=r \, \cos(\theta)$$y=r \, \sin(\theta)$, a continuación, calcular el límite con los nuevos valores de $x$ $y$ al $r \to 0$, si después de que el cálculo del límite, el final de los valores de límite depende de a $\theta$, llegamos a la conclusión de que, la función de la dosis no tiene límite en a $(0,0)$ pero si al final los valores de límite de ser independiente de $\theta$, decimos que la función tiene límite en a $(0,0)$ con el valor que hemos obtenido. así tenemos

$$\lim_{(x,y) \a (0,0)}\,\dfrac { y-\sin(y) } {x^{2}+y^{2} } =\lim_{(r) \a (0)}\frac{r\,\sin(\theta)-\sin(r\,\sin(\theta))}{r^2} $$ $$ \lim_{(r) \a (0)}\frac{r\,\sin(\theta)-\sin(r\,\sin(\theta))}{r^2} =\lim_{(r) \a (0)}\frac{\frac{1}{3!}r^3\sin^3(\theta)}{r^2}= \lim_{(r) \a (0)}\frac{1}{6}r\sin^3(\theta)=0 $$ esto significa que el límite existe en $(0,0)$.