Prueba de Clifford ' Teorema de s para los módulos de

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_theory#Proof_of_Clifford.27s_theorem

Tengo una pregunta muy fácil que me parece que no puede encontrar la respuesta. Soy auto-estudio, así que no puedo pedir a nadie.

Básicamente, en la prueba en wikipedia anteriormente, ¿por qué es que podemos suponer que $U$, $F[N]$- submódulo de $V$ restringido a $N$, aún existe? No puede módulos de $V$ (e $V$ restringido a $N$) existir sin irreductible submódulos como $U$?

muchas gracias

Answer 1

En el artículo de la wikipedia ha vinculado $V$ corresponde a la representación irreducible $\pi$ que es de dimensión finita. Por lo tanto, siempre hay una irreductible subrepresentation de $V_N$. (Si $V_N$ no es irreducible, entonces hay una buena subrepresentation, necesariamente de menor dimensión, de tomar las debidas distinto de cero subrepresentation de menor dimensión, esto es necesariamente irreducible.)

También hay una versión de dimensiones infinitas $V$, ver por ejemplo [Karpilovsky: Clifford teoría para el grupo de representaciones, Teorema 2.2.2], pero no va a mantener en todos los casos como, por ejemplo, se menciona aquí.

Answer 2

La prueba no excluye la posibilidad de que la restricción de $V$ $N$ es irreducible. Entonces es necesariamente igual a $U$ $V$. Por ejemplo $V$ podría ser 1-dimensional.