Números con 2015

Question

Me gusta construir problemas matemáticos; para resolver el de abajo debería encontrar primero un determinado cuadrado y utilizarlo en mi solución. Quisiera saber si alguien puede resolver este problema de otra manera. Gracias.

Problema . Demostrar que existen infinitos números naturales cuyas notaciones decimales terminan en 2015 y cuyos cuadrados comienzan en 2015; es decir, números $x$ que satisfagan

$$x = a_na_{n-1}......2015$$

$$x^2 = 2015b_{m-4}b_{m-5}.....b_2b_1b_0$$

Answer 1

Reclamación: $2015\cdot 10^{2k+4}<(4489\cdot 10^k + 2015)^2 <2016\cdot 10^{2k+4}$ para todos $k\geq 4$

Lo has hecho: $(4489\cdot 10^k + 2015)^2 = 4489^2\cdot 10^{2k} + 2\cdot 2015\cdot 4489\cdot 10^k + 2015^2$

Trivialmente $2015\cdot 10^{2k+4} = 20150000\cdot 10^{2k} < 20151129\cdot 10^{2k} = 4489^2\cdot 10^{2k} < (4489\cdot 10^k+2015)^2$

Y

$2\cdot 2015\cdot 4489\cdot 10^k + 2015^2 \leq 2\cdot2015\cdot 4489\cdot 10^k + 2015^2\cdot 10^{k-4}= 180910760225\cdot 10^{k-4}=1809.10760225\cdot 10^{k+4}\leq 1809.10760225\cdot 10^{2k}<1810\cdot 10^{2k}$

Así que

$(4489\cdot 10^k + 2015)^2 \leq 20151129\cdot 10^{2k} + 2\cdot 2015\cdot 4489\cdot 10^k + 2015^2 < 20151129\cdot 10^{2k} + 1810\cdot 10^{2k} = 20152939\cdot 10^{2k} < 2016\cdot 10^{2k+4}$

De este modo se demuestra la afirmación de que para cada $k\geq 4$ tienes $2015\cdot 10^{2k+4}<(4489\cdot 10^k + 2015)^2 <2016\cdot 10^{2k+4}$ .

Obsérvese finalmente que eso significa que $4489\cdot 10^k+2015$ termina con los dígitos $2015$ y su cuadrado comienza con los dígitos $2015$ . Como esto es cierto para cada $k\geq 4$ es cierto para infinitos números naturales.

Answer 2

Dejemos que $x=44890\cdots02015$ con cualquier número de ceros en el medio (incluso ninguno). Entonces $$44890\times10^d<x<44893\times10^d$$ para algunos $d$ Así que $$2015112100\times10^{2d}<x^2<2015381449\times10^{2d}\ .$$ Por lo tanto, $$2015\times10^{2d+6}<x^2<2016\times10^{2d+6}\ .$$ Así, $x^2$ es un $(2d+10)$ -número de dígitos que comienza con los dígitos $2015$ .

Answer 3

Redujo la búsqueda con algún patrón inteligente y encontró mediante programación que para $x = 141982015$ su cuadrado es $20158892583460225$

Escriba su $x=10000q+2015$ . Entonces $x^2= 10^8q^2 + 2q.10^4+ 2015^2$ Como sólo nos interesa que los dígitos iniciales sean 2015 ignoramos los últimos 4 dígitos de $2015^2$ obteniendo 406 (de 4060225). Los 4 dígitos terminales de los dos primeros términos son ceros. Así que tenemos que buscar $q$ tal que $10000q^2+2q+406$ . comienza con $2015$ Si el primer dígito decimal de $q>1$ entonces comenzará con 4 o más y puede ser ignorado.

Si los dos primeros dígitos son 15 son más, la respuesta comenzará con 225 son más.

Aquí está el código de Python:

from sys import argv

st = int(argv[1])

ed = int(argv[2])

para q en el rango(st,ed):

xx=10000*q*q +2*q+406

imprimir q, " ---> ", xx