Hay un anillo conmutativo $R$ tal que todos los countably genera números primos son los principales, sino $R$ no es un director ideal anillo?
Sé que si todo el primer ideales son principales, a continuación, todos los ideales son principales (ver aquí ; esta respuesta no necesita $R$ a ba un dominio en todos).
Por otro lado, cualquier anillo conmutativo tal que countably generado ideales son principales, es un PIR (ver aquí).
Observe que, dado que el anillo de $R$ algebraica de los números enteros es un no-Noetherian Bezout de dominio, todos los finitely generado (prime) ideales son principales, pero $R$ no es un PIR.
He probado algunos ejemplos de no-PIR anillos sin demasiados primer ideales. El caso extremo es sólo un primer ideal, por ejemplo, Artin y local, pero el único primer ideal no era principal en los ejemplos que he encontrado. Como se ha señalado por Alex Youcis en el comentario de abajo, este no puede trabajar desde cualquier Artin anillo es noetherian. Yo quería buscar cero-dimensional de los anillos, pero no sabía cómo.
Gracias por su ayuda!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $k$ ser un campo y $X$ ser una multitud innumerable, y deje $R$ ser el anillo de funciones $X\to k$ que son constantes a partir de un conjunto finito. Si $P\subset R$ es un alojamiento ideal, hay dos casos. El primer caso es que $P$ contiene una función con cofinite de apoyo, en cuyo caso por primalidad debe contener una función cuyo apoyo es el complemento de un singleton $\{x\}$. A continuación, se deduce que el $P$ debe ser igual a la ideal de las funciones que se desvanecen en $x$, que es el principal (generado por la función característica de a $X\setminus\{x\}$).
El segundo caso es que el $P$ no contiene funciones de cofinite de apoyo. Por primalidad, $P$ debe contener cada una de las funciones de finito de apoyo (ya que si $f$ ha finito de apoyo, $fg=0$ donde $g$ es la función característica de la dotación de la compatibilidad de $f$, e $g\not\in P$). Por lo tanto $P$ es el conjunto de todas las funciones con finito de apoyo, que es de hecho un alojamiento ideal. Este primer ideal no es countably generado, desde la $X$ es incontable.
Otro ejemplo similar es el anillo de todas las funciones $X\to k$ donde $X$ es cualquier conjunto infinito. La prueba de que no nonprincipal prime es countably generado es más complicado en ese caso, y es equivalente a la afirmación de que no nonprincipal ultrafilter en un conjunto es countably generado.
Para una especie totalmente diferente de ejemplo, vamos a $\{x_i\}$ ser un innumerable conjunto de variables y deje $R=k[x_i]/(x_i^2)$. A continuación, el único primer ideal de $R$ es el ideal generado por todas las $x_i$, ya que todos ellos son nilpotent y el ideal que generan es ya máxima (ya que el cociente es $k$). Este ideal no es countably generados desde cualquier contables conjunto de generadores sólo supondría countably muchas de las variables.
Aquí un último ejemplo, que a diferencia de los ejemplos anteriores es un dominio. En primer lugar, permítanme comenzar con un par de lemas.
Lema 1: Vamos a $A$ ser un dominio y $a\in A$ ser un elemento distinto de cero. A continuación, el anillo de $B=A[x,y]/(xy-a)$ es un dominio.
Prueba: tenga en cuenta que $B[1/x]=A[x,1/x][y]/(xy-a)=A[x,1/x][z]/(z-a/x)=A[x,1/x]$ dejando $z=y/x$. Por lo $B[1/x]$ es un dominio, y para mostrar a $B$ es un dominio es suficiente para mostrar $x$ no es un divisor de cero en a $B$. Si $x$ eran de un divisor de cero, entonces no sería polinomios $f,g\in A[x,y]$ $xf=g(xy-a)$ $f$ no divisible por $xy-a$. Pero $x$ es el primer en $A[x,y]$, por lo que si $xf=g(xy-a)$ $x$ divide $g$, lo $f=(g/x)(xy-a)$ es divisible por $xy-a$.
Lema 2: Deje $A$ ser un dominio y deje $a\in A$ ser un elemento distinto de cero. A continuación, el anillo de $C=A[x,y,s,t]/(xy-a,sx+ty-1)$ es un dominio y no nonunit elemento de $A$ es una unidad en $C$.
Prueba: Por el Lema 1, $B=A[x,y]/(xy-a)$ es un dominio. Ahora $C[1/x]=B[1/x][s,t]/(sx+ty-1)=B[1/x][s,u]/(s+uy-1/x)=B[1/x][u]$ (dejando $u=t/x$). Por lo $C[1/x]$ es un dominio, y para mostrar a $C$ es un dominio es suficiente para mostrar $x$ no es un divisor de cero en a $C$. Si $x$ eran de un divisor de cero en a $C$, no sería polinomios $f,g\in B[s,t]$ tal que $xf=g(sx+ty-1)$ pero $f$ no es divisible por $sx-ty-1$. Pero si $x$ divide $g(sx+ty-1)$, entonces por inducción $x$ debe dividir cada una de las partes homogéneas de $g$, y por lo tanto $x$ divide $g$ (aquí utilizamos el hecho de que el término constante de $sx+ty-1$ es una unidad). Por lo $f=(g/x)(sx+ty-1)$ es divisible por $sx+ty-1$.
Por lo tanto $C$ es un dominio. Para demostrar que no nonunit en $A$ es una unidad en $C$, ten en cuenta que hay un homomorphism de $A$-álgebras de $C$ $A$que envía a $x$ a $a$, $y$ a $1$, $s$ a $0$, e $t$$1$. Cualquier unidad en $C$ se asigna a una unidad en $A$ bajo este homomorphism, por lo que cualquier unidad de $C$, lo que vino a partir de un elemento de $A$ debe ser una unidad en $A$.
OK, ahora por fin podemos construir el ejemplo. Deje $U$ ser una multitud innumerable. Dado un dominio $A$, vamos a $F(A)$ ser el anillo obtenido por elementos adyacentes $x_{a,u},y_{a,u},s_{a,u},t_{a,u}$ tal que $x_{a,u}y_{a,u}=a$ $s_{a,u}x_{a,u}+t_{a,u}y_{a,u}=1$ para cada elemento distinto de cero $a\in A$ y cada una de las $u\in U$. Por iteración Lema 2, $F(A)$ es un dominio y no nonunit en $A$ es una unidad en $F(A)$.
Ahora vamos a $A_0$ ser un dominio que no es un campo y definir $A_1=F(A_0)$, $A_2=F(A_1)$, y así sucesivamente, y deje $A_\omega$ directo límite de los anillos $A_n$. A continuación, $A_\omega$ es un dominio, y no es un campo, ya que $A_0$ no fue un campo y no de la unidad en $A_0$ es todavía un no-unidad en cada una de las $A_n$. Pero afirman que no distinto de cero el primer ideal en $A_\omega$ es countably generado.
En efecto, supongamos $P\subset A_\omega$ es el primer y $a\in P$ es un elemento distinto de cero. A continuación, $a\in A_n$ algunos $n$, y para cada una de las $u\in U$ $A_{n+1}$ hay elementos $x_{a,u},y_{a,u},s_{a,u},t_{a,u}$ tal que $x_{a,u}y_{a,u}=a$$s_{a,u}x_{a,u}+t_{a,u}y_{a,u}=1$. Desde $P$ es primo, debe contener exactamente un de $x_{a,u}$ $y_{a,u}$ por cada $u$ (si contenía tanto, a continuación,$s_{a,u}x_{a,u}+t_{a,u}y_{a,u}=1$$P$). Ahora si $P$ fueron countably generado, sus generadores sólo implicaría countably muchos de los elementos de $U$, y podríamos encontrar un automorphism de $A_\omega$ que corrige cada uno de los generadores de $P$ pero swaps $x_{a,u}$ $y_{a,u}$ (y también de los swaps $s_{a,u}$$t_{a,u}$) para algunos $u$ que no está involucrado en cualquiera de los generadores de $P$. Este automorphism arreglar $P$, y por lo $P$ contiene $x_{a,u}$ fib contiene $y_{a,u}$. Esto es una contradicción, ya que $P$ debe contener exactamente uno de ellos.
Así que no es distinto de cero prime en $A_\omega$ es countably generado. Desde $A_\omega$ es un dominio que no es un campo contiene un valor distinto de cero de los números primos, por lo que no es un director ideal del anillo.
