Si , Entonces

Question

Que $[a_n,b_n]$, $n=1,2,3,\ldots$, sea cerrado intervalos con $[a_n,b_n] \bigcap [a_m,bm] \neq \emptyset$ % todo $n$, $m$. Prueba $\bigcap{1}^{\infty} [a_n,b_n] \neq \emptyset$.

Puedo demostrar por inducción que $\bigcap_{1}^N [a_n,b_n] \neq \emptyset$. Pero no estoy seguro sobre la broca del infinito, tal vez, me falta algo veo.

¿Cualquier chicos sugerencia?

Gracias

Answer 1

El % de intersección $\bigcap_{n=1}^N [a_n,b_n]$sí mismo es un intervalo cerrado $[c_N,d_N]$. Si puede probar que, probablemente puede mostrar que $c_1\le c_2 \le c_3 \le \cdots$ y $d_1 \ge d_2 \ge d_3 \ge \cdots$. Entonces pensar en $\sup{c_1,c_2,c_3,\ldots}$ y $\inf{d_1,d_2,d_3,\ldots}$.

Answer 2

Definir $A_n = \max_{i=1}^n a_i, B_n = \min_{i=1}^n b_i$. Mostrar que $$ \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = \bigcap_{n=1}^{\infty} [A_n,B_n]. $$ Desde $[A_n,B_n] \subseteq [a_i,b_i]$$i=1, \dots, n$, uno de los lados de la inclusión es trivial. Por el otro lado, supongamos $x$ está en el lado izquierdo. Entonces es en cada una de las $[a_n,b_n]$'s, y por lo tanto $a_n \le x$ por cada $n$. Pero eso significa que $A_n \le x$ por cada $n$, y un argumento similar muestra que $x \le B_n$ por cada $n$, dando así a la inversa de la inclusión.

El $[A_n,B_n]$'s tener una bonita propiedad : son anidados intervalos, es decir,$[A_n,B_n] \supseteq [A_{n+1},B_{n+1}]$. Este argumento hasta no significa que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los intervalos anidados (bueno, casi se puede, pero voy a tratar con él).

Ahora por la construcción de $A_n$ es un aumento de la secuencia, es decir,$A_n \le A_{n+1}$. También, $B_{n+1} \le B_n$ por la construcción. También tenemos $A_n \le B_n$. Para ver esto, supongamos $A_n > B_n$. Esto significa que no existe $i,j$ tal que $a_i > b_j$, pero, a continuación,$[a_i, b_i] \cap [a_j, b_j] = \varnothing$, lo que está excluido. Por lo tanto, tenemos $A_n \le A_{n+1} \le B_{n+1} \le B_n$. Por lo tanto, $A_n$ es creciente y acotada arriba, y $B_n$ es decreciente y acotada por debajo, por lo tanto las secuencias de $A_n$ $B_n$ son convergentes, llamar a sus límites de $\alpha$ $\beta$ respectivamente. Claramente no podemos tener a $\alpha > \beta$, porque entonces no sería existe $n$ tal que $B_n < A_n$, lo que está excluido. Esto significa $\alpha \le \beta$. Por lo tanto, $$ \bigcap_{n=1}^{\infty} [A_n, B_n] = [\alpha, \beta] \neq \varnothing. $$ (Esto es debido a que $x \ge \alpha$ si y sólo si $x \ge A_n$ por cada $n$, y del mismo modo para $B_n$.)

Espero que ayude!

Answer 3

Tienes que tener $a_n \leq b_m$ % todo $m$y $n$, $[a_n,b_n]$ y $[a_m,b_m]$ son disjuntos. Así $\sup_n a_n \leq \inf_m b_m$. Que $S = \sup_n a_n$ y $I = \inf_m b_m$, cualquier $x$ $S \leq x \leq I$ estará en $\cap_n [a_n,b_n]$.