polinomios División de curva elíptica como función en $\mathbb{C}$

Question

Tengo una pregunta sobre el ejercicio 6.15 de Silverman libro de la AEC.

Supongamos que $E$ es un nonsingular de curva elíptica sobre $\mathbb{C}$ dada por la ecuación $$y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6.$$ Entonces podemos definir la división de polinomios $\psi_n(x,y)$ como de costumbre. Ejercicio 6.15 de Silverman del libro AEC dice que consideramos $\psi_n$ como una función en $\mathbb{C}/\Lambda$. Porque quiero hacer la última explícitamente, empecé con una admisible el cambio de variables tal que $E(\mathbb{C})$ es isomorfo a una curva elíptica $\bar{E}(\mathbb{C})$ dada por $$y^2=4x^3-g_2x-g_3.$$ Deje $\Lambda$ ser el entramado correspondiente a la anterior curva elíptica. A continuación, $\mathbb{C}/\Lambda$ es isomorfo a $\bar{E}(\mathbb{C})$ y, por tanto, $\mathbb{C}/\Lambda$ es isomorfo a $E(\mathbb{C})$. Podemos resumir con el siguiente grupo de isomorphisms $$\mathbb{C}/\Lambda\ \xrightarrow{z\ \mapsto\ [\wp(z),\,\wp'(z),\,1]}\ \bar{E}(\mathbb{C})\ \xrightarrow{\text{admissible change of variables }}\ E(\mathbb{C}) .$$ Exactamente cómo podemos considerar $\psi_n$ como una función en $\mathbb{C}/\Lambda$ a partir de las descripciones de arriba?

Answer 1

Yo no estoy seguro de entender tu pregunta correctamente, así que aquí hay dos diferentes sugerencias.

Si usted está buscando una relación inversa entre la mapa, al isomorfismo $\mathbb{C}/\Lambda\to E(\mathbb{C})$ que envía a $z \mapsto [\wp(z),\wp'(z),1]$, este inversa mapa es dado en Silverman, la Proposición 5.2. Está dado por el mapa de $E(\mathbb{C})\to \mathbb{C}/\Lambda$ y envía $P=(x_0,y_0)$ $\int_O^P \frac{dx}{y} \bmod \Lambda$donde $O$ es el elemento cero en $E$, es decir, el punto en el infinito.

Si usted está confundido acerca de cómo pensar la $\psi_n$ definido a lo largo del $\mathbb{C}/\Lambda$, aviso de que la división de polinomios $\psi_n(x,y)$ se define de modo que, si $P=(x,y)\in E$, $\psi_n(x,y)=0$ si y sólo si $[n]P = O$. Por lo $\psi_n$ $\mathbb{C}/\Lambda$ es una función de $\psi_n:\{\mathbb{C}/\Lambda\}-\{ 0\bmod \Lambda\} \to \mathbb{C}$ tal que $\psi_n(z)=0$ si y sólo si $n\cdot z \equiv 0 \bmod \Lambda$. Por otra parte, $\psi_n$ tiene un polo de orden $n^2$ al infinito (Silverman, el Ejercicio 3.7(f)). Por lo tanto, usted sabe exactamente lo que el divisor de $\psi_n$, es decir, $\operatorname{div}(\psi_n) = (\sum_{T\in E[n]} T)-n^2\cdot O$. Si usted calcular el divisor de $\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}$, usted encontrará que ambas funciones tienen el mismo divisor, por lo que su cociente es constante. A continuación, siga Silverman de la pista para encontrar la constante.

Espero que esto ayude.