¿El mínimo global implica un "vecindario mínimo"?

Question

Supongamos que$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es una función suave ($C^\infty$) que alcanza un mínimo estricto en algún punto$x_0\in (a,b)$. Es decir, $$ f (x_0) <f (x) \ qquad \ forall x \ en [a, b] \ setminus \ {x_0 \} $$ Supongamos además que$f^{\prime}(x_0)=0$ y$f^{\prime\prime}(x_0) >0$.

¿Existe un vecindario$V$ de$x_0$ tal que$$f(x)\leq f(y)\qquad \forall x\in V,\, y\in[a,b]\setminus V$ $

Answer 1

(Supongo que por el "barrio de $x_0$" que significa "intervalo que contiene a $x_0$"; todos, más en general, las definiciones de "barrio" que hacen de este problema trivial.)

Como $f''(x_0)>0$ $f''$ es continua, $f$ es estrictamente convexa en algún intervalo abierto $V_0$ contiene $x_0$. Por otra parte, $[a, b] \backslash V_0$ es compacto, y por lo $f$ alcanza un mínimo valor de $y_1$$[a, b] \backslash V_0$.

Set $V=f^{-1}((-\infty,y_1))$. Este contiene $x_0$ porque $x_0$ es un mínimo estricto. Está contenida en $V_0$ por la construcción. Pero la convexidad de $f$ $V_0$ implica entonces que $V$ es un intervalo abierto: es abierta, porque $f$ es continua, y si $x_1,x_2 \in V$ $f(x)<\max(f(x_1),f(x_2))$ todos los $x \in (x_1,x_2)$. Finalmente, $f(x)<y_1$$x \in V$$f(x) \geq y_1$$x \not\in V$. Así que hemos terminado.