Me dieron:
$$ \begin{align*} x_1&=\frac32\\\\ x_{n+1}&=\frac3{4-x_n} \end {align *} $$
¿Cómo voy a probar formalmente que la secuencia converge y la demuestro?
Gracias por adelantado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos demostrar por inducción que:
- $1<x_n<3$
- $x_n$ está disminuyendo.
El caso base es obvio. Supongamos ahora que $1<x_{n-1}<3$ algunos $n$. Entonces $$ \frac{3}{4-1}< \frac{3}{4-x_{n-1}}<\frac{3}{4-3} $$ o, después de simplificar, $1<x_n<3$, lo $1.$ mantiene para $n$. También, tenga en cuenta que $1<x_{n-1}<3$ implica $$ (x_{n-1}-1)(x_{n-1}-3)<0\Rightarrow 3<4x_{n-1}-x_{n-1}^2 $$ así $$ x_n=\frac{3}{4-x_{n-1}}<x_{n-1} $$ Por lo $2.$ mantiene así. Ahora, por el teorema de convergencia monótona, $x_n$ converge. Con un poco más de trabajo, podemos demostrar que este límite es en realidad $1$.
