Ubicación de los focos de una hipérbola como el valor de $a$ se convierte en cada vez más menor que el valor de $b$

Question

"¿Qué sucede con la ubicación de los focos de una hipérbola como el valor de $a$ se convierte cada vez más pequeños que el valor de $b$?"

Supuse que la hipérbola en la forma $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

Mi explicación fue la siguiente:

"Como $a \to 0$$a^2+b^2 \to b^2$. Debido a $a^2+b^2=c^2$, esto implica que $c^2 \to b^2$ $a^2$ disminuye, y por lo tanto $c \to b$. Los focos enfoque "$b$ " desde el centro como los vértices de enfoque en el centro."

Esta pregunta estuvo presente en la última prueba de tomé. No me llega la pregunta equivocada, pero al revisar la prueba con la clase, mi profesor dijo que los focos se alejan del centro. No puedo ver cómo ella está a la derecha, a menos que asumimos $a \to -\infty$. Y eso no es cierto, porque la $a > 0$$b > 0$$c > 0$. Mi único pensamiento es que no he entendido.

Una última nota: estoy en una clase que se llama "el Álgebra 2 / Trigonometría Honores" en mi escuela, así que lo que se esperaba no era realmente supongo que ser muy formal, sino más bien una explicación en palabras y en un diagrama (que yo siempre).

Edit: Ella podría ser correcto si $b \to \infty$ en lugar de $a \to 0$. Pero creo que mi interpretación de la pregunta tiene más sentido dado a la pregunta. Si a alguien le importa compartir su opinión por favor. Sólo estoy tratando de averiguar lo que la pregunta realmente hace y de una manera más formal para justificar y demostrar mi respuesta. Gracias!

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, tomar el origen para ser el centro: $$ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. $$ Los focos se $\pm(\sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0)$, y la pregunta, tomado literalmente, dice, "Lo que sucede a los focos como $a/b \to 0$?"

Estrictamente hablando, es un arriesgado pregunta: En la ausencia de restricciones adicionales, $a$ $b$ son independientes, por lo que "hay un montón de maneras de tomar $a/b \to 0$". (Geométricamente, el absoluto de la pendiente de la asíntota y la escala general son independientes).

Para abordar las cuestiones de forma sistemática, escribir $$ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = b\sqrt{(a/b)^{2} + 1}. $$ Como $a/b \to 0$, claramente $c/b \to 1$. Geométricamente, podríamos decir que los focos enfoque de $\pm b$ en comparación con la escala general de la hipérbola.

En más detalle: Si $b$ se aproxima a un límite finito como $a/b \to 0$,$c \to b$, tal y como lo dijo en su examen.

En general, el truco de la "multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión" da $$ c - b = b\bigl[\sqrt{(a/b)^{2} + 1} - 1\bigr] = \frac{a^{2}/b}{\sqrt{(a/b)^{2} + 1} + 1}. $$ A partir de aquí, es fácil ver que $c \to b$ puede fallar.

Si $a = t$$b = t^{3/2}$, por ejemplo, entonces como $t \to \infty$ tenemos $a/b = 1/\sqrt{t} \to 0$, pero $$ c - b = \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{(1/t) + 1} + 1} \to \infty. $$ Si en lugar de $k > 0$ es real, $a = t$, e $b = t^{2}/(2k)$, $a/b = 2k/t \to 0$ pero $$ c - b = \frac{2k}{\sqrt{(2k/t)^{2} + 1} + 1} \a k. $$ Es decir, la forma asintótica de la distancia de $b$ $c$puede ser cualquier valor no negativo número real, o el infinito. (De hecho, $c - b$ puede exhibir arbitrariamente complicado comportamiento como $a/b \to 0$: basta con sustituir la constante $k$ por su favorito delimitada, no desapareciendo función de $t$.)

Si o no de los focos más desde el centro depende de cómo $a/b \to 0$. Su maestro, presumiblemente, hizo algunas hipótesis, tales como "$a$ es constante y $b$ aumenta sin límite".

En general, parece que la cuestión era más complicada que el interrogador intención.