¿Por qué n mod 0 indefinido?

Question

Traté de averiguar lo $n$ mod $0$ es, para algunos,$n\in \mathbb{Z}$. Al parecer es un indefinido funcionamiento - ¿por qué?

Answer 1

Yo podría decir que depende de cómo se defina lo que significa mod a cabo por un número.

Un típico primera manera de pensar acerca de los mods es decir que $a \equiv b \pmod d$ si $a = b + dk$ para algunos entero $k$. En este sentido, no hay nada de malo en decir $a \equiv b \pmod 0$, aunque este no dice nada más de $a = b$.

Una primera manera de pensar acerca de los mods es decir que $a \equiv b \pmod d$ si al dividir $a$$d$, se obtiene resto $b$ (o algo muy similar). En este sentido, ya que no tiene sentido dividir por $0$, estamos en una pérdida.

Una típica más alta idea es considerar $\mathbb{Z}$ como un grupo, y para el 'mod por $d$' operación a la media de las clases de equivalencia inducidas por tomar cosets de que el subgrupo generado por a $d$, lo que voy a denotar por $\langle d \rangle$. En este sentido, el subgrupo $\langle 0 \rangle$ es el subgrupo trivial, por lo que el modding por $0$ cae más a lo largo de las líneas de la primera forma de pensamiento que he mencionado anteriormente : es bien definido, pero no es realmente útil.

Answer 2

Depende de cómo se defina "mod". Si te refieres a "el resto después de dividir", no se puede dividir por cero, por lo que no se define.

Sin embargo, otra manera de pensar acerca de mods es como una relación de equivalencia. Se las puede definir como $$a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a-b)$$ donde $x \mid y$ " $x$ divide $y$". En este caso, $a \equiv b \pmod{n}$ si y sólo si $0 \mid (a -b)$, lo que significa $a = b$.

Por último, la forma más general a pensar de mods es mediante el uso de anillo de la teoría. Tome un anillo de $R$. Un ideal $I$ $R$ es un sub-anillo que es contagiosa en virtud de la multiplicación, así que para todos $a \in R$, $x \in I \implies ax \in I$. Así que para los enteros, un ideal podría ser $I = \{\cdots, -10, -5, 0, 5, 10, \cdots\}$, debido a que si se multiplica un múltiplo de cinco por algo, aún así es un múltiplo de cinco.

Dado un anillo y un ideal, podemos construir un sub-anillo, $R/I$, que se conoce como "$R$ mod $I$". Los elementos de este anillo son los cosets de este ideal. Para este ejemplo, el coset de $1$$1 + I = \{\cdots, -9, -4, 1, 6, 10, \cdots\}$. En lugar de la adición y la multiplicación de grupos enteros, podemos elegir cualquier representante, y la multiplicación y la adición todavía bien definida. Esta es la aritmética modular! $1 + 3 \equiv 6 + 3 \equiv -9 + 3 \pmod{5}$, después de todo.

Como la respuesta a su pregunta, observa que "los enteros mod $n$" es el mismo que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Así que si dejamos $n = 0$, nos mod a cabo por el cero ideal (es decir, $I = \{0\}$), el coset de $a$ acaba de ser $\{a\}$, y tenemos algo isomorfo a $\mathbb{Z}$ nuevo. En otras palabras, $n$ mod $0$$n$.

Answer 3

$r = n\mod x$ significa que

1. $ 0 \leq r < x$

2. para algunos $a$, $n = x a + r$

al $x=0$, la primera condición no puede ser satisfecho.