Yo estaba aburrido en casa hoy y jugando con la "n-bonacci" los números, los números generados por $$x_0=0,x_1=1,...,x_k=k; x_n=\sum_{i=0}^{n-1}x_i$$ Hice una suposición basada en el cuadrática responsable de la proporción áurea, que la relación de secuencia n-bonacci números podrían ser encontrado mediante la resolución de la $n$-ésimo polinomio de grado $$x^n-\sum_{i=0}^{n-1}x^i=0$$ Por ejemplo, si $n=2$, entonces tenemos como una raíz real $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, aproximadamente $1.6180339...$. Si $n=3$, yo deje de Arce generar la verdadera raíz de la $\frac{1}{3}\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\frac{4}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}}+\frac{1}{3}$ aproximadamente $1.83929...$ Mediante el uso de Arce, empecé a resolver más y más alto grado de los polinomios y parece que esta relación tiende a 2 como $n$ se hace grande. Debo usar una inducción de la prueba? O hay una forma más simple de que me estoy perdiendo?
Respuesta
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El caso límite es la siguiente serie:$x_i=0$ para$i\le 0$,$x_n=\sum_{i\le n} x_i$ para todos$n> k$, con$x_1,\ldots, x_k$ condiciones iniciales arbitrarias. Esta serie ha cerrado la forma$$x_{n}=2^{n-k-1}M ~~(\text{for }n>k)$$ where $ M = x_1 + \ cdots + x_k $.
Esta serie es un límite superior para todos los suyos y tiene la proporción$2$. Proporciono esto como evidencia de que 2 es el límite; una prueba rigurosa requeriría más cuidados de los que estoy dispuesto a gastar en este momento.
