¿' t una función con módulo constante en el límite de un dominio acotado tiene módulo constante sobre todo el dominio?

Question

Estoy teniendo dificultades con una pregunta de Análisis Complejo (Gamelin). La pregunta se ha hecho antes, pero todavía tengo algunas dificultades con él. Se pide demostrar que una función continua en la unidad de disco y su límite y analítica en la unidad de disco abierta es de un número finito de Blaschke producto si su módulo en el límite de la disco es uno. Las soluciones que he leído sugieren que dividir la función por la finitos Blaschke producto con ceros idénticos a los ceros de f. Ante todo, no entiendo por qué la f debe tener un número finito de ceros. En segundo lugar, ¿no siga por el máximo y el mínimo módulo principio de que f tiene módulo constante en todo el disco ya que su máximo y mínimo de los módulos en el límite del disco son uno? Entonces, ¿cómo puede f adquirir cualquiera de los ceros en absoluto? Soy yo el mal uso de los max/min mod principio aquí?

Así, ¿cómo es la división de la función por el finito Blaschke producto con ceros idéntica a la de los ceros de la función de ayuda? El reclamo era que la función es ahora el max mod principio constante (??). Yo todavía no veo cómo esto de la siguiente manera.

Gracias!

Answer 1

1) Si $f$ tenía una infinidad de ceros en el disco, los tendría un punto límite. Por la continuidad el valor en un punto límite sería $0$. Si $f$ no tiene ceros en el círculo, el punto límite es, pues, un no-aislado cero de la función. Pero una analítica de la función con un no-aislado cero es idéntica $0$.

2) Si $f$ no tiene ceros en el disco y constante de valor absoluto en el círculo, de hecho se han constante de valor absoluto, y por lo tanto sería constante. Una función con ceros en el disco puede tener una constante de valor absoluto en el círculo, el ejemplo más sencillo ser $f(z) = z$.

3) Después de dividir por el finito Blaschke producto, se obtiene una función sin ceros en el disco, y por lo tanto se puede aplicar (2).