Integración Trigonométrica de la Escuela Secundaria

Question

Me pregunto qué paso ha salido mal. ¿Está mal usar$u=\sin x$?

$$ \int \cos^3x\ \sin x\;\mathrm{d}x $ $$$=\int\cos^2x \sin x \cos x\;\mathrm{d}x $ $$$=\int(1-\sin^2x)\sin x\;\mathrm{d}(\sin x)$ $$$=\int\sin x\;\mathrm{d}(\sin x)-\int\sin^3x\;\mathrm{d}(\sin x)$ $$$=\frac 12 \sin^2x-\frac14\sin^4x+C$ $

Answer 1

Está bien. Usted debe obtener una respuesta que difiere de la respuesta se consigue sustituyendo $u=\cos x$ en su lugar. ¿Cuál es la explicación? Las dos respuestas difieren por una constante.

Pero su método con $\int \cos^2x\sin x\,dx$. ¡¡Buena suerte!!

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Para ser un poco más explícita:

Desde $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ usted tiene $$ 1 = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 = \cos^4 x + 2 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x $ $ utilizando la identidad en el término medio tiene $$ 1 = \cos^4 x - \sin^4 x + 2 \sin^2 x $ $ y para obtener la respuesta de la substitución de $\sin x$ diferencia forma otra vez la sustitución de #% de #% % por exactamente una constante ($\cos x$ de hecho).

Answer 2

no no te equivocas pero esto también puede realizarse sin sustitución,

recordar la fórmula de la high School secundaria: $\int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ % $ $$\int \cos^3x\sin x\ dx=-\int (\cos x)^3\ d(\cos x)=-\frac{(\cos x)^4}{4}+C$

Answer 3

Su trabajo es correcto. Puede comprobar su trabajo distinguiendo su resultado:\begin{align} \frac{d}{dx}\left(\frac 12 \sin^2x-\frac14\sin^4x+C\right)&=\sin x\cos x-\sin^3 x\cos x \ &=\left(1-\sin^2 x\right)\sin x \cos x \ &=\sin x\cos^3x \end{align} es el integrando original, por lo que su integración era correcta.

Answer 4

Puede resolver estas integrales utilizando la definición compleja de las funciones trigonométricas.

Con $z=e^{ix}$ (y $dz=ie^{ix}dx$), $\cos x:=\dfrac{z+z^{-1}}2,\sin x=\dfrac{z-z^{-1}}{2i}$ tenemos

$$ \int \cos^3x\ \sin x\, dx = \int\left (\dfrac {z + z ^ {-1}} 2\right) ^ 3\dfrac {z-z ^ {-1}} {2i} \frac {dz} {iz} \int\frac = {z ^ 3 +2z-2z ^ {-3}-z ^ {-5}} {16} dz\ =-\frac{\dfrac{z^4+z^{-4}}4+z^2+z^{-2}}{16}=-\frac1{32}\cos4x-\frac18\cos 2 x. $$