La pregunta de Euler

Question

Me he encontrado con este problema sobre el que me gustaría preguntarle:

Para qué valores $a>0$ ¿hay $\exists$ un límite de la secuencia $$a, a^{a},a^{a^{a}}, a^{a^{a^{a}}}...$$

Bueno, esto parece una secuencia recursiva. Si $a=exp(\lambda)$ entonces $z_{0}=0, z_{n+1}=\lambda exp(z_{n}).$

y supongo que para algunos $\lambda$ $\exists$ límite. Sólo que no estoy seguro de cómo mostrar para qué.

Después de algunas pruebas, mi idea era comprobar el caso de la frontera $$a> e^{1/e}$$

y $$a \leq e^{1/e}$$

pero supongo que ambos divergen. Se agradece cualquier idea o aportación. Gracias

Answer 1

El ejemplo a tener en cuenta es $a = \sqrt 2,$ donde el límite es $2.$ La cuestión es que para algunos $1 < z < 2,$ obtenemos $\sqrt2 < \left( \sqrt 2 \right)^z < 2,$ por lo que la torre de expresiones exponenciales da una secuencia creciente con un límite superior, por tanto un límite. El límite, que llamaré $Z,$ no es mayor que $2$ y satisface $\left( \sqrt 2 \right)^Z = 2,$ así que $Z=2.$ Nota $\sqrt 2 \approx 1.41421.$

Similar para cualquier $1 < a < e^{1/e} \approx 1.44466786.$ Tomamos las minúsculas $$z_1 = a, \; z_2 = a^a = a^{z_1}, \; z_3 = a^{\left( a^a \right)} = a^{z_2}, \ldots, z_{n+1} = a^{z_n}.$$

La función $g(x) = \frac{\log x}{x}$ es estrictamente creciente en el intervalo $1 < x < e,$ con supremacía de $1/e$ en el punto final correcto. Así que, como $0 < \log a < 1/e$ encontramos que hay un único valor, lo llamaré $Z,$ con $1 < Z < e$ y $$\frac{\log Z}{Z} = \log a.$$ Esto significa que $a^Z = Z.$

Ahora, toma cualquier $z$ con $1 < a \leq z <Z.$ Obtenemos $$\frac{\log z}{z} < \frac{\log Z}{Z} = \log a.$$ Así que primero obtenemos $z < a^z.$ Pero desde la primaria $z < Z$ obtenemos $a^z < a^Z = Z.$ Así que tenemos $$z < a^z < Z.$$

Volviendo a nuestra secuencia numerada $z_1, z_2, z_3, \ldots$ encontramos que la secuencia es creciente con un límite superior de $Z.$ Así que la secuencia tiene un límite.

Por un argumento de continuidad el límite satisface $a^Z = Z,$ por lo que el límite real es $Z.$ Permítanme ser un poco más específico en este punto. La secuencia tiene un límite, llámalo $W.$ Supongamos que que $W < Z.$ Lo primero que nos dice el supuesto es que $a^W > W.$ Ahora, sabemos que la secuencia aumenta con $z_n \rightarrow W.$ Para cada $z_n,$ también necesitamos $z_{n+1} = a^{z_n} \leq W.$ Pero podemos acercarnos arbitrariamente a $W,$ efectivamente podemos obtener todos los elementos con $n \geq N$ entre $W - \delta$ y $W$ para cualquier $\delta > 0$ que nos gusta. Así que, lo que realmente necesitamos es $$a^{W - \delta} \leq W, \; \; \forall \delta > 0.$$ Y así, por continuidad de $f(x) = a^x,$ llegamos a $$a^W \leq W.$$ Pero esto contradice la supuesto que $W < Z.$ Así que el límite real es $Z.$

POSTSCRIPCIÓN: la mala noticia para hacer problemas atractivos con esto es que $Z$ está en un determinado rango de precios, por ejemplo no podemos tener $Z$ igual a tres. Aun así, si elegimos algún $Z$ que nos gusta, podemos entonces resolver para $a = Z^{1/Z}.$ Por ejemplo, tome $$a = \left( \frac{5}{2} \right)^{\left( \frac{2}{5} \right)} \approx 1.4426999$$ y el límite es $Z=\frac{5}{2}.$