¿Existe una real $r$ y un modelo transitivo contable $M$ tal que $r$ no es en cualquier extensión obligando a $M$?

Question

Es un teorema que si $M[G]$ es una extensión genérica $M$, entonces para cada modelo $N$ de ZFC con $M \subset N \subset M[G]$, $\ N$ es alguna extensión genérica de $M$ (y es, de hecho, $M[G\cap D]$ % total bajoálgebra $D$del álgebra completa $B$ #% es que $G$% #%-genérico).

¿Esto me hizo saber, hay un % real $M$y un modelo transitivo contable $r$ tal que $M$ no es en cualquier extensión obligando a $r$?

Answer 1

Sí - no se pueden agregar muchos reales, como por ejemplo $0^#$, forzando a un modelo en el que no ya existen.

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Sin llegar a, para cualquier modelo contable $M$ la verdadera codificación $M$ no es sumable forzando. (O, del mismo modo, cualquier codificación real un bien pedido de longitud $\ge Ord(M)$.)

Answer 2

Sí, no se puede forzar el % real $0^{#}$.

Answer 3

Si bien no tan inteligente como $0^#$ o adición de números ordinales, aquí es algo un poco raro.

Si $M$ es un modelo contable transitivo de $\sf ZFC$, entonces tiene una clase obligando a que agrega un % real $r$tal que $M[r]\models V=L[r]$. Por otra parte esto puede ser mínima, así que cualquier conjunto en $M[r]$ $M$ o y $r$.

Tales bienes no esté genérico $M$. Así en cuanto obliga a establecer es, que no es en cualquier extensión obligando a $M$.