$1997$ Putnam - Let $G$ ser un grupo y que $\Phi : G \rightarrow G$ una función

Question

Que $G$ ser un grupo y que $\Phi : G \rightarrow G$ una función tal que

$\Phi(g_1)~ \Phi (g_2)~ \Phi(g_3) = \Phi(h_1)~ \Phi (h_2)~ \Phi(h_3)$ Cuando

$ g_1~g_2~g_3 = h_1~h_2~h_3=e$ .

Mostrar que existe un elemento $a$ $G$ tal que $\Psi(x) = a~ \Phi(x)$ es un homomorfismo.

Intento: Debemos mostrar que $\forall ~~x,y \in G, a ~\Phi(xy) = a~ \Phi(x)~a~\Phi(y)$

que $x,y,z \in G | (xy)^{-1}=z$

Entonces, $e \cdot xy \cdot z = e\cdot e\cdot e$

$\implies \Phi(e) ~\Phi(xy)~ \Phi(z) = [\phi(e)]^3 ..............(1)$

Del mismo modo, $x \cdot y \cdot z =e \cdot e \cdot e$

$\implies \Phi(x) ~\Phi(y)~ \Phi(z) = [\phi(e)]^3 ..............(2)$

de $(1),(2): \Phi(e) ~\Phi(xy) = \Phi(x) ~\Phi(y)$

Ahora, necesito demostrar que %' $\Phi(x) ~\Phi(y)=\Phi(e)~\Phi(x)~\Phi(e)~\Phi(y)$'

¿Seguir adelante? Ayuda será apreciada. Gracias

Answer 1

Si $\Psi$ es un homomorfismo entonces debe tener $\Psi(e) = e$. Esto demuestra que el único $a$ que posiblemente puede funcionar es $a = \Phi(e)^{-1}$.

$\Phi(x^{-1})\Phi(x)\Phi(e) = \Phi(x^{-1})\Phi(e)\Phi(x)$, que $\Phi(e) = a^{-1}$ conmuta con $\Phi(x)$ % todos $x$. Luego hace así $a$ porque $a\Phi(x) = a\Phi(x)a^{-1}a = aa^{-1}\Phi(x)a = \Phi(x)a$.

Entonces usted tiene que mostrar que forall $x,y$, $a\Phi(xy) = a\Phi(x)a\Phi(y)$. Esto puede reescribirse mediante cancelación y commutativity $\Phi(e)\Phi(xy) = \Phi(x)\Phi(y)$, lo cual es cierto, como lo han demostrado.