Quiero demostrar que dos variedades suaves son difeomorfas

Question

Consideremos un colector liso $M = \{ (u,v) \in \mathbb{R^3} \times \mathbb{R^3} \mid \|u\|=\|v\|=1 \text{ with } u \perp v \}$ y quiere mostrar $M$ es difeomorfo a $SO(3)$ el grupo de rotación en $\mathbb{R^3}$ .

Primero defino un mapa $f:M \rightarrow SO(3)$ por $(u,v) \mapsto [u,v,u \times v]$

¿Cómo puedo mostrar $f$ es suave con inversa suave $f^{-1}$ ? Y esta es la única manera de demostrar el difeomorfismo ¿no?

Answer 1

Tienes razón: cada elemento de $SO(3)$ es sólo una base de orientación positiva de $\mathbb R^3$ , y dicha base está determinada por sus dos primeros vectores como propones. En otras palabras, uno representa los movimientos en $SO(3)$ por sus matrices ortogonales con respecto a la base estándar $\{e_1,e_2,e_3\}$ . Ahora $M\subset\mathbb S^2\times\mathbb S^2$ se define por $h(u,v)=\langle u,v \rangle=0$ y $h:\mathbb S^2\times\mathbb S^2\to\mathbb R$ es una inmersión: $$d_{(u,v)}h(v,0)=\langle v,v\rangle=\|v\|^2\ne0.$$ para cualquier $(u,v)\in M$ (porque $v\in T_u\mathbb S^2$ ). El mapa $f(u,v)=[u,v,u\times v]$ es suave, porque $L=[u,v,u\times v]$ es sólo la matriz del movimiento y los productos vectoriales son operaciones algebraicas con las coordenadas de $u,v$ . La inversa viene dada por $u=L(e_1), v=L(e_2)$ , de nuevo suave. Espero que esto ayude.