¿El paracompacto de Hausdorff implica que es perfectamente normal?

Question

Que Hausdorff paracompacto implica normal es estándar y hay ejemplos en StackExchange de espacios Hausdorff perfectamente normales que no son paracompactos, pero no estoy seguro de la respuesta, sobre todo porque los espacios paracompactos son normales a nivel de colección y esto último no está relacionado con lo perfectamente normal. (El ejemplo estándar de un espacio normal a nivel de colección que no es perfectamente normal es $\omega_1$ que no es paracompacto).

Answer 1

No. Consideremos el espacio ordinal cerrado $\omega_1+1 = [0,\omega_1]$ . Como es compacto, es claramente paracompacto, y también es Hausdorff. Pero no es perfectamente normal: el monoplaza (cerrado) $\{ \omega_1 \}$ no es un G subconjunto.