Si $E$ tiene medida cero, entonces $E^2$ ¿tienen medida cero?

Question

Actualmente estoy trabajando en la teoría de las medidas sólo para ver si es algo que me gustaría tomar.

Lamentablemente estoy atascado en este problema de Carothers.

Si $m^*(E)=0$ entonces $m^*(E^2)=0$ .

Dónde $m^*$ denota la medida exterior y $$E^2=\{x^2:x\in E\}.$$

He jugado con la idea de que $I_k < 1 \Rightarrow I^2_k < I_k$ . Sin embargo, no sé cómo establecer una cadena de desigualdades (que es lo que supongo que necesito).

Answer 1

Este es un enfoque.

(1) Demuestre primero que si $E\subseteq [0,M]$ para algún número real $M>0$ y $m^*(E)=0$ entonces $m^*(E^2)=0$ . SUGERENCIA: Puede cubrir $E$ con intervalos arbitrariamente cortos $[a,b]$ de tal manera que para cada uno de estos intervalos $m^*([a^2,b^2])=b^2-a^2<(M+1)(b-a)$ .

(2) Utilice (1) para ocuparse del caso $E\subseteq [M,0]$ para algunos $M<0$ .

(3) Utilice (1) y (2) para demostrar que para cualquier $\epsilon > 0$ y cualquier número entero positivo $n$ , $m^*(E\cap [-n,n])<2^{-n}\epsilon$ . Entonces $E = \bigcup_{n=1}^\infty(E\cap [-n,n])$ y $\epsilon = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\epsilon$ ...así que...