Primer teorema del isomorfismo

Question

Teorema: Que $G$ y $G'$ grupos y que $f:G\to G'$ ser un homomorfismo del grupo. Entonces $G/\textrm{ker}\, f \cong\textrm{im}\, f$.

Mi pregunta es cómo entender este teorema intuitivamente.

Answer 1

Tal vez se pone más intuitiva si se mira la situación con grupos reemplazados por juegos. Si $f : M \rightarrow N$ es un mapa entre los conjuntos de $M$$N$, entonces se obtiene un equivalenve relación $R_f := \{(x,y) \in M \times M \::\: f(x) = f(y)\}$. La clase de equivalencia de a$x \in M$$f^{-1}(\{f(x)\})$, por lo que tenemos una bien definida (y inyectiva) mapa de $M/R_f$ (en el conjunto de la equivalencia classe) a $N$, el envío de $f^{-1}(\{f(x)\})$$f(x)$. Así, en primer lugar la recopilación de todos los elementos, que representan el mismo elemento a través de la $f$, y, a continuación, la asignación de estas colecciones a sus respectivos valores le da un bijection en la imagen.

Tenga en cuenta que en el caso de los grupos de $G$ $G'$ y el grupo de homomorphism $f: G \rightarrow G'$ $f^{-1}(\{f(x)\}) = x\ker(f)$ todos los $x \in G$ y la inducida por el mapa es un grupo homomorphism, produciendo un isomorfismo a la imagen.