¿Esto es equivalente a la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Question

$(x^Ay)^2 \leq (x^Ax)(y^*Ay)$

¿Esta desigualdad tiene por matriz semi definida positiva? Me pregunto si esto es equivalente a la desigualdad de Cauchy-Schwarz. He intentado diagonalize A pero todavía a medio camino hacia la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

¿Pensamientos sobre esta desigualdad? ¿Voy en la dirección correcta?

¡Muchas gracias!

Answer 1

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se aplica a cualquier producto interno semi definitivo, incluyendo el de $\mathbb{R}^n$ (como vectores de columna) definido por $\langle x,y\rangle=x^{\mathrm T}Ay$.

Una de las pruebas más simples en el caso real es considerar $p(t)=\langle x-ty,x-ty\rangle=\langle x,x\rangle -2\langle x,y\rangle t +\langle y,y\rangle t^2$. $p(t)\geq 0$ % Todo $t\in \mathbb R$, y $p$ es una cuadrática polinómico en $t$, por lo que su discriminante debe ser nonpositive. Reorganización de esta desigualdad discriminante rinde su desigualdad.

Answer 2

El % de matriz $A$tiene una descomposición de Cholesky: $A=L^* L$. Por lo tanto

$$x^ A y = (Lx)^ Ly = (Lx) \cdot (Ly),$$ where by $\cdot$ we mean the usual complex inner product: $a \cdot b = \sum_i \overline{a_i} $ b_i. Ahora aplicando Cauchy-Schwarz,

$$ |x^ A y|^2 \leq ||Lx||_2^2 ||Ly||_2^2 = (x^ L^ L x) (y^ L^ L y) = (x^ A x) (y^* A y)$$

Answer 3

Sí, es equivalente a la desigualdad de la CS. W.l.o.g, asumme $A$ es una matriz diagonal con las entradas diagonales positivas, $A=diag(a_1,\cdots, a_n)$. Usted verá que $\left(\sum \sqrt{a_i}x_i\sqrt{a_i}y_i\right)\le \left(\sum (\sqrt{a_i}x_i)^2\right)\left(\sum (\sqrt{a_i}y_i)^2\right) $ es de la misma forma de la desigualdad de la CS.